Endomorphismen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:06 Mo 04.06.2007 | | Autor: | maggi20 |
| Aufgabe | Auf dem vektorraum R² betrachte man die Endomorphismen f und g, gegeben durch
f((x,y))= (x+2y, x-y), g((x,y)= (2x-3y, x+y)
Ergänzen Sie diese zu einer Basis von Hom(R²,R²)
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Hallo,
könnte mir bitte jemand bei dieser Aufagbe weiterhelfen. Schreib morgen eine Klausur!!!!!
Ich habe für f,g eine Matrix bezgl. der Standardbasis bestimmt.
Für Af= ( 1 2
1 -1)
Ag= ( 2 -3
1 1 )
Jetzt sollen wir zeigen, dass diese linear unabhängig sind. Wenn ich jetzt ein lineares Gleichungssystem aufstelle erhalte ich mehr Variablen als Gleichungen, also komme ich auf kein eindeutiges Ergebnis.
Da die Dimension von Hom(R²,R²)= 4 benötige ich noch zwei Matrizen.
Also betrachte ich die Standardbasen bzgl. M 2x2 (R).
Wie ergänze ich die linear unabhängige Menge nun zu einer Basis?
Danke!
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> Auf dem vektorraum R² betrachte man die Endomorphismen f
> und g, gegeben durch
> f((x,y))= (x+2y, x-y), g((x,y)= (2x-3y, x+y)
>
> Ergänzen Sie diese zu einer Basis von Hom(R²,R²)
>
> Hallo,
>
> könnte mir bitte jemand bei dieser Aufagbe weiterhelfen.
> Schreib morgen eine Klausur!!!!!
>
> Ich habe für f,g eine Matrix bezgl. der Standardbasis
> bestimmt.
>
> Für [mm] A_f=\pmat{ 1 & 2 \\ 1 & -1 }
[/mm]
>
> [mm] A_g= \pmat{ 2 & -3 \\ 1 & 1 }
[/mm]
Hallo,
diese beiden Matrizen sind jetzt die Vektoren, die Du auf lineare Unabhängigkeit prüfen mußt.
Also ist zu lösen
[mm] aA_f+bA_g=0
[/mm]
[mm] <==>\pmat{ a & a \\ a & -a }+ \pmat{ 2b & -3b \\ b & b }= \pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0 }
[/mm]
[mm] <==>\pmat{ a+2b & a-3b \\ a+b & -a+b }= \pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0 }
[/mm]
Hieraus erhältst Du 4 Gleichungen mit 2 Variablen.
> Da die Dimension von Hom(R²,R²)= 4 benötige ich noch zwei
> Matrizen.
> Also betrachte ich die Standardbasen bzgl. M 2x2 (R).
Da könntest Du durch systematisches Experimentieren tun.
Finde zunächst, welche der Matrizen [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 }, \pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 },\pmat{ 0 & 0 \\ 1 & 0 }, \pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 }
[/mm]
die beiden, die Du schon hast, zu einer linear unabhängigen Menge von drei Matrizen ergänzt,
anschließend probierst Du so lange, bis Du findest, daß eine der verbleibenden eine gute Ergänzung ist.
(Da man beim Rechnen so viele Nullen hat, ist das nicht arg mühsam.)
Gruß v. Angela
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