Endliche Untergruppe in C* < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe 1 | Es sei G eine endliche Untergruppe in [mm] \IC^{\*}. [/mm] Zeigen Sie:
a) G [mm] \subset S^{1}=\{z\in\IC | |z|=1 \} [/mm] |
| Aufgabe 2 | | b) Es existiert ein n [mm] \in \IN, [/mm] so dass [mm] G=\{z\in\IC | z^{n}=1 \} [/mm] gilt. |
Hallo zusammen,
mir fehlen bei obiger Aufgabe die richtige Ideen. Ich denke, dass ich die Untergruppenaxiome benutzen kann:
G ist nicht leer; a,b [mm] \in [/mm] G [mm] \Rightarrow [/mm] a*b [mm] \in [/mm] G; a [mm] \in [/mm] G [mm] \Rightarrow a^{-1} \in [/mm] G
[mm] \IC^{\*}=\IC [/mm] \ [mm] \{0 \}
[/mm]
Zu a)
Hier habe ich mir überlegt, dass wenn G nicht in [mm] S^{1} [/mm] liegt, dann kann G nicht endlich sein. Ist das zu zeigen?
Zu b)
Hier fehlt mir auch ein der Ansatz. Einerseits liegt G in [mm] S^{1}, [/mm] also muss es anschaulich ein n [mm] \in \IN [/mm] geben. Andererseits habe ich mir überlegt, dass man irgendwie mit Winkel arbeiten kann, die die Menge erzeugen?
Wäre cool, wenn ich ein paar Anstupser bekäme :).
Beste Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:10 Mi 18.05.2011 | | Autor: | fred97 |
> Es sei G eine endliche Untergruppe in [mm]\IC^{\*}.[/mm] Zeigen
> Sie:
> a) G [mm]\subset S^{1}=\{z\in\IC | |z|=1 \}[/mm]
>
> b) Es existiert ein n [mm]\in \IN,[/mm] so dass [mm]G=\{z\in\IC | z^{n}=1 \}[/mm]
> gilt.
>
> Hallo zusammen,
>
> mir fehlen bei obiger Aufgabe die richtige Ideen. Ich
> denke, dass ich die Untergruppenaxiome benutzen kann:
> G ist nicht leer; a,b [mm]\in[/mm] G [mm]\Rightarrow[/mm] a*b [mm]\in[/mm] G; a [mm]\in[/mm] G
> [mm]\Rightarrow a^{-1} \in[/mm] G
>
> [mm]\IC^{\*}=\IC[/mm] \ [mm]\{0 \}[/mm]
>
> Zu a)
> Hier habe ich mir überlegt, dass wenn G nicht in [mm]S^{1}[/mm]
> liegt, dann kann G nicht endlich sein. Ist das zu zeigen?
>
>
> Zu b)
> Hier fehlt mir auch ein der Ansatz. Einerseits liegt G in
> [mm]S^{1},[/mm] also muss es anschaulich ein n [mm]\in \IN[/mm] geben.
> Andererseits habe ich mir überlegt, dass man irgendwie mit
> Winkel arbeiten kann, die die Menge erzeugen?
>
> Wäre cool, wenn ich ein paar Anstupser bekäme :).
Zu a) gebe ich Dir einen Stupser, vielleicht reicht der dann auch für b)
Ist n die Anzahl der Elemente von G (also die Ordnung von G), so ist
[mm] $z^n=1$ [/mm] für jedes z [mm] \in [/mm] G.
Wie fällt dann |z| aus ?
FRED
>
> Beste Grüße
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Danke Fred für den Stupser :).
Da G endlich ist, gilt deine Bedingung $ [mm] z^n=1 [/mm] $ für jedes z $ [mm] \in [/mm] $ G.?
D.h. |z| muss = 1 sein. Da G eine endliche Untergruppe in [mm] \IC^{\*} [/mm] ist, ist G [mm] \subset S^{1} [/mm] also bin ich fertig?
Zu b dann: Da G endlich ist, muss ein n [mm] \in \IN [/mm] existierten, so dass [mm] z^{n}=1. [/mm] Da G [mm] \subset S^{1} [/mm] gilt die Bedingung für ein z [mm] \in \IC [/mm] ?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Fr 20.05.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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