Endliche Körpererweiterung < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:34 Sa 08.09.2012 | | Autor: | Kimmel |
| Aufgabe | Sei L/K eine endliche Körpererweiterung, so dass p = [L:K] prim ist.
Man zeige: Es existiert ein [mm] \alpha \in [/mm] L mit L = [mm] K(\alpha) [/mm] |
Sei L = [mm] K(\alpha_1, \alpha_2,...,\alpha_n)
[/mm]
Nach dem Gradsatz gilt:
[L:K] = [mm] [K(\alpha_1, \alpha_2,...,\alpha_n):K(\alpha_1, \alpha_2,...,\alpha_{n-1})]\cdot... \cdot[K(\alpha_1):K] [/mm] = p
Da p prim ist, ex. ein m mit p = [mm] [K(\alpha_1,...,\alpha_m):K(\alpha_1,...,\alpha_{m-1})], [/mm] wobei 1 [mm] \leq [/mm] m [mm] \leq [/mm] n. Wir setzen [mm] K(\alpha_0) [/mm] = K.
Die restlichen Terme sind 1.
Das heißt, es gilt:
K = [mm] K(\alpha) [/mm] = ... = [mm] K(\alpha_1, \alpha_2,...,\alpha_{m-1}) [/mm] und [mm] K(\alpha_1, \alpha_2,...,\alpha_m) [/mm] = ... [mm] =K(\alpha_1, \alpha_2,...,\alpha_n) [/mm] = L
Daraus folgt L = [mm] K(\alpha_m).
[/mm]
Ist der Beweis so in Ordnung?
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moin,
> Sei L = [mm]K(\alpha_1, \alpha_2,...,\alpha_n)[/mm]
Hier würde ich an deiner Stelle noch kurz nen halben Satz darüber verlieren, wieso solche [mm] $\alpha_i$ [/mm] existieren und wieso es nur endlich viele sind.
Ansonsten sieht der Beweis gut aus.
lg
Schadow
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:03 Sa 08.09.2012 | | Autor: | Kimmel |
> moin,
>
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> > Sei L = [mm]K(\alpha_1, \alpha_2,...,\alpha_n)[/mm]
>
> Hier würde ich an deiner Stelle noch kurz nen halben Satz
> darüber verlieren, wieso solche [mm]\alpha_i[/mm] existieren und
> wieso es nur endlich viele sind.
> Ansonsten sieht der Beweis gut aus.
>
> lg
>
> Schadow
Hey,
Endlich viele sind es, weil L/K eine endliche Körpererweiterung ist und da jede endliche Körpererweiterung algebraisch ist, existieren die [mm] \alpha_i.
[/mm]
...?
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Hmm, aus algebraisch folgt die Existenz der [mm] $\alpha_i$?
[/mm]
Wieso sind es endlich viele [mm] $\alpha_i$?
[/mm]
Wie du mit deiner Argumentation aus dem ersten Post gut sehen kannst folgt aus der Tatsache, dass es endlich viele [mm] $\alpha_i$ [/mm] sind (jedes einzelne algebraisch über $K$) sofort, dass $L [mm] \mid [/mm] K$ eine endliche Körpererweiterung ist...
Anders herum gibt es aber algebraische Erweiterungen, die nicht endlich sind.
Also langer Rede kurzer Sinn: Für die Existenz der [mm] $\alpha_i$ [/mm] und vor allem für die Tatsache, dass es nur endlich viele sind, brauchst du die Endlichkeit der Erweiterung.
Versuch dir das nochmal ganz genau klar zu machen was es heißt, dass eine Körpererweiterung endlich ist (genaue Definition!) und wie du damit auf die Existenz und vor allem endliche Anzahl der [mm] $\alpha_i$ [/mm] schließen kannst.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:49 So 09.09.2012 | | Autor: | Kimmel |
Hm.
Es heißt ja: Eine Körpererweiterung heißt endlich, wenn [L:K] endlich ist.
Zu dem gilt: Jede endliche Körpererweiterung ist algebraisch.
Das heißt L ist algebraisch über K, was wiederum heißt, dass jedes [mm] \alpha \in [/mm] L algebraisch in K ist.
Reicht das?
Wenn nicht, oder wenn es komplett falsch ist, dann weiß ich leider nicht mehr weiter...
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Nun, das Problem ist wie gesagt, dass eine algebraische Erweiterung auch durchaus unendlich sein kann.
Es gibt ja $[L:K]$ die Dimension von $L$ als $K$-Vektorraum an.
Ist diese endlich so können wir eine endliche Basis [mm] $\alpha_1,\ldots [/mm] , [mm] \alpha_n$ [/mm] von $L$ angeben.
Mach dir mal klar, wieso diese [mm] $\alpha_i$ [/mm] genau die gesuchten sind.
Bedenke dabei, dass [mm] $K(\alpha_1, \ldots [/mm] , [mm] \alpha_n [/mm] )$ als $K$-Algebra von den [mm] $\alpha_i$ [/mm] erzeugt wird.
Welchen hier nützlichen Zusammenhang kannst du zwischen $K$-Vektorraum und $K$-Algebra herstellen?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:13 So 09.09.2012 | | Autor: | Kimmel |
> Nun, das Problem ist wie gesagt, dass eine algebraische
> Erweiterung auch durchaus unendlich sein kann.
> Es gibt ja [mm][L:K][/mm] die Dimension von [mm]L[/mm] als [mm]K[/mm]-Vektorraum an.
> Ist diese endlich so können wir eine endliche Basis
> [mm]\alpha_1,\ldots , \alpha_n[/mm] von [mm]L[/mm] angeben.
> Mach dir mal klar, wieso diese [mm]\alpha_i[/mm] genau die
> gesuchten sind.
> Bedenke dabei, dass [mm]K(\alpha_1, \ldots , \alpha_n )[/mm] als
> [mm]K[/mm]-Algebra von den [mm]\alpha_i[/mm] erzeugt wird.
> Welchen hier nützlichen Zusammenhang kannst du zwischen
> [mm]K[/mm]-Vektorraum und [mm]K[/mm]-Algebra herstellen?
Sorry, aber mir ist der Begriff K-Algebra iwie fremd. Entweder habe ich das in dem Buch überlesen, oder es ist bisher nicht aufgetaucht.
Auch der Wikipedia-Artikel darüber hilft mir nicht bei der Beantwortung deiner Frage...
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Ok, am kleineren Beispiel:
Nehmen wir uns ein einzelnes [mm] $\alpha$.
[/mm]
Dann ist der von [mm] $\alpha$ [/mm] erzeugte $K$-Vektorraum folgende Menge:
[mm] $\{ k*\alpha \mid k \in K \}$.
[/mm]
Nun können wir uns die Menge [mm] $K[\alpha]$ [/mm] ansehen.
Diese hat die Form [mm] $\{\sum k_i*\alpha^i \mid k_i \in K , k_i = 0$ für fast alle $i \}$.
[/mm]
Schließlich die Menge [mm] $K(\alpha)$, [/mm] welche folgendermaßen aussieht:
[mm] $\{\frac{p}{q} \mid p,q \in K[\alpha], q \neq 0 \}$.
[/mm]
Ist [mm] $\alpha$ [/mm] algebraisch über $K$ so zeigt man irgendwann, dass [mm] $K[\alpha] [/mm] = [mm] K(\alpha)$.
[/mm]
Das Problem bei deiner Aufgabe ist jetzt:
Du weißt, dass $L$ als $K-$Vektorraum endlich erzeugt ist.
Wenn wir oben nachgucken heißt das also es gibt [mm] $\alpha_1, \ldots [/mm] , [mm] \alpha_n$, [/mm] sodass $L = [mm] \{ \sum_{i=1}^n k_i*\alpha_i \mid k_i \in K \}$.
[/mm]
Aber wieso kannst du daraus folgern, dass $L = [mm] K(\alpha_1, \ldots [/mm] , [mm] \alpha_n) [/mm] = [mm] \{\frac{p}{q} \mid q \neq 0 \}$, [/mm] wobei $p,q$ hierbei Polynome in den Variablen [mm] $\alpha_1, \ldots [/mm] , [mm] \alpha_n$ [/mm] sind (wie oben im Beispiel für $n=1$).
Also es geht mir hier darum dir klar zu machen, dass das "endlich" eine ganz andere algebraische Struktur beschreibt; nämlich $L$ als $K-$Vektorraum.
Natürlich kannst du daraus folgern, dass die [mm] $\alpha_i$ [/mm] auch $L$ als $K-$Algebra erzeugen, also $L = [mm] K(\alpha_1, \ldots [/mm] , [mm] \alpha_i)$, [/mm] aber vor allem wenn dir das noch nicht ganz klar ist sehe ich nicht wieso du das ohne weiteres voraussetzen dürftest.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:21 Mo 10.09.2012 | | Autor: | Kimmel |
Vielen Dank Shadowmaster!
Da herrscht bei mir noch Nachholbedarf.
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