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Forum "Algebra" - Elliptische Kurven
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Elliptische Kurven: Anzahl der Elemente
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:43 Do 12.12.2013
Autor: Highlander89

Aufgabe
Sei q prim: Zeige:

[mm] |E_{a,0}(\IZ_{q}^{*})| [/mm] = q +1 für q = 3 mod 4, a [mm] \varepsilon \IZ_{q}^{*} [/mm]

Da ich Krankheitsbedingt drei Wochen der Vorlesung verpasst habe, habe ich keine Wirkliche Idee zu der Aufgabe und wäre sehr dankbar für einen Hinweis zur Herangehensweise.


Das +1 von q+1 wird wohl vom "Punkt im Unendlichen" kommen, der ja ein Element der elliptischen Kurve ist.


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Elliptische Kurven: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:01 Do 12.12.2013
Autor: Arralune

Überlege dir, was $q [mm] \equiv [/mm] 3 [mm] \mod [/mm] 4$ für $-1$ als quadratischer Rest bedeutet. Überlege dir anschließend, was passiert, wenn $(x,y)$ und $(-x,y')$ beides Punkte der Kurve wären.

Bezug
                
Bezug
Elliptische Kurven: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:33 Do 12.12.2013
Autor: Highlander89

Im Skript steht, für q = 3 mod 4 gilt -1 ist kein quadratischer Rest, weil (q-1)/2 ungerade ist. Ich bin mir aber nicht sicher warum das gilt.


Okay ich habe mir das ganze nochmal angeschaut:

-1 ist kein quadratischer Rest mod q, denn

[mm] x^{2} \equiv [/mm] -1 , dann ist 1 [mm] \equiv x^{q-1} \equiv (x^{2})^{(q-1)/2} \equiv (-1)^{(q-1)/2} \equiv (-1)^{ungerade} [/mm] = -1 (Widerspruch)

Bezug
                        
Bezug
Elliptische Kurven: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:59 Fr 13.12.2013
Autor: felixf

Moin,

> Im Skript steht, für q = 3 mod 4 gilt -1 ist kein
> quadratischer Rest, weil (q-1)/2 ungerade ist. Ich bin mir
> aber nicht sicher warum das gilt.
>
> Okay ich habe mir das ganze nochmal angeschaut:
>
> -1 ist kein quadratischer Rest mod q, denn
>
> [mm]x^{2} \equiv[/mm] -1 , dann ist 1 [mm]\equiv x^{q-1} \equiv (x^{2})^{(q-1)/2} \equiv (-1)^{(q-1)/2} \equiv (-1)^{ungerade}[/mm]
> = -1 (Widerspruch)

genau.

Die umgekehrte Behauptung gilt uebrigens auch: ist $q [mm] \not\equiv [/mm] 3 [mm] \pmod{4}$, [/mm] so ist -1 ein quadratischer Rest.

LG Felix


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