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| Aufgabe | Seien a,b,c,d Elemente eines Körpers K und v:=(a,b) und w:=(c,d). Man zeige die Äquivalenz der Aussagen:
(a) Das 2-Tupel (v,w) ist K-linear unabhängig.
(b) ad [mm] \not= [/mm] bc. |
Hallo,
also ich habe ein paar Probleme mit dieser Aufgabe. Also mir ist klar, dass ich zeigen muss: a [mm] \Rightarrow [/mm] b und b [mm] \Rightarrow [/mm] a.
K-linear unabhängig bedeutet doch, dass ich keine Möglichkeit besitzte ein [mm] \lambda [/mm] zu finden, so dass gilt v= [mm] \lambda [/mm] * w.
Aber wieso folgt da direkt draus ad [mm] \not= [/mm] bc?
Andersherum komme ich auch nicht weiter.
Kann mir jemand einen guten Denkanstoss geben?
Viele Grüße, Tommy
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Nehmen wir den Fall [mm](a) \Rightarrow (b)[/mm]. Wegen der linearen Unabhängigkeit kann keiner der Vektoren der Nullvektor sein. Es ist daher [mm]a \neq 0[/mm] oder [mm]b \neq 0[/mm]. Nehmen wir ohne Beschränkung der Allgemeinheit das erste an.
Würde nun [mm]ad = bc[/mm] gelten, so bestünden mit [mm]\lambda = \frac{c}{a}[/mm] die Gleichungen
[mm]c = \lambda \cdot a[/mm] (trivial)
[mm]d = \lambda \cdot b[/mm] (wegen der Annahme)
Widerspruch!
Und wie geht die umgekehrte Richtung?
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Vielen Dank für deine schnelle Antwort.
Doch leider verstehe ich diese nicht. Warum muss nach der linearen Unabhängigkeit a [mm] \not= [/mm] 0 oder b [mm] \not= [/mm] 0 gelten. Was ist denn mit c und d???
Und deine Rechenüberlegung kann ich auch nicht so ganz nachvollziehen. Kannst du die vielleicht noch etwas detaillierter aufschreiben?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:37 Sa 14.01.2006 | | Autor: | taura |
Hallo Tommy!
> Doch leider verstehe ich diese nicht. Warum muss nach der
> linearen Unabhängigkeit a [mm]\not=[/mm] 0 oder b [mm]\not=[/mm] 0 gelten.
> Was ist denn mit c und d???
Für c und d gilt das selbe. Beide Vektoren dürfen nicht gleich dem Nullvektor sein, denn sonst sind sie linear abhängig. Also muss jeweils eine Komponente der beiden Vektoren ungleich 0 sein. Deswegen kann man ohne Einschränkung annehmen, dass [mm] $a\not=0$ [/mm] was man braucht da man durch a teilen will. (Da das ganze in einem Körper stattfindet, gibt es zu jeder Zahl außer der 0 ein multiplikatives Inverses also darf man durch jede Zahl außer der 0 teilen.)
Jetzt nehme ich an (Beweis durch Widerspruch), dass ad=bc und setze [mm] $\lambda:=\br{c}{a}$
[/mm]
Dann gilt einerseits: [mm] $c=\lambda [/mm] * a$ (einfach a auf die andere Seite multiplizieren.
Und andererseits: [mm] $a*d=b*(\lambda*a)$
[/mm]
Da [mm] $a\not=0$, [/mm] kann man a kürzen (Körpereigenschaften) und es folgt:
[mm] $d=\lambda [/mm] * b$
Insgesamt folgt also:
[mm] $w=\vektor{c \\ d}=\vektor{\lambda*a \\ \lambda*b}=\lambda*\vektor{a \\ b}=\lambda*v$, [/mm] was ein Widerspruch zur Vorraussetzung ist, dass v und w linear unabhängig sind.
Nun klarer? 
Gruß taura
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Hallo,
vielen Dank. Ja, das ist jetzt logisch und ich habe es auch verstanden. Nur jetzt häng ich hier schon wieder 2 Stunden rum und bekomme nichts brauchbares für die andere Richtung (b) [mm] \Rightarrow [/mm] (a).
Kann mir da vielleicht noch mal jemand helfen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:21 So 15.01.2006 | | Autor: | piet.t |
Hallo tommy,
bei der Rückrichtung ist zu zeigen,dass das Gleichungssystem
[mm]\lambda a + \mu c = 0[/mm]
[mm]\lambda b + \mu d = 0[/mm]
für [mm] \lambda [/mm] und [mm] \mu [/mm] unter derVoraussetzung (b) nur die triviale Lösung hat.
Um erstmal auf ad und bc zu kommen multiplizieren wir die erste Gleichung mit d und die zweite Gleichung mit c:
[mm]\lambda ad + \mu cd = 0[/mm]
[mm]\lambda bc + \mu dc = 0[/mm]
Zieht man die Gleichungen voneinander ab fällt der [mm] \mu-Term [/mm] weg und es bleibt:
[mm]\lambda(ad-bc) = 0[/mm]
Die Klammer ist aber nach Voraussetzung [mm] \ne [/mm] 0, also ist [mm] \lambda [/mm] = 0.
[mm] \mu [/mm] = 0 machst Du dann selbst.
Gruß
piet
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Also. Ich verstehe deinen Rechenschritt und das ganze ist auch sehr logisch. Nur bei meinen Part komme ich nun nicht weiter. Ich habe keine Ahnung, wie ich es schaffe [mm] \mu [/mm] zu berechnen.
Der Term mit [mm] \mu [/mm] fällt bei mir immer weg. Kann mir da mal kurz jemand helfen?
Gruß, Tommy
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:29 So 15.01.2006 | | Autor: | taura |
Hallo Tommy!
Also, du hast ja jetzt schon [mm] $\lambda=0$, [/mm] das setzt du in die beiden Gleichungen
[mm] $\lambda a+\mu [/mm] c=0$
[mm] $\lambda b+\mu [/mm] d=0$
ein. Es muss also gelten: [mm] $\mu [/mm] c=0$ und [mm] $\mu [/mm] d=0$. Nun kann [mm] $\mu$ [/mm] nur dann ungleich 0 sein, wenn sowohl c alsauch d gleich 0 sind. Das kann aber nicht sein, denn was wäre sonst mit dem Ausdruck ad-bc?
Gruß taura
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:17 So 15.01.2006 | | Autor: | piet.t |
Hallo Tommy,
....entweder kriegst Du das [mm] \mu [/mm] wie taura schreibt über das [mm] \lambda, [/mm] oder Du kannst es genauso bestimmen wie das [mm] \lambda, [/mm] nur musst Du dann die erste Gleichung mit b und die zweite mit a multiplizieren.
Gruß
piet
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