#Elem. in Faktorgruppe < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo ihr!
Ich bin dabei meinen Vorlesungsstoff zu wiederholen und bin grad bei den Faktorgruppen angekommen, wobei mir da noch ein Frage bezüglich der Anzahl der Elemente offen ist:
Es gilt ja zum einen, dass
a [mm] \in [/mm] N [mm] \gdw [/mm] aN=N
und zum anderen nach Lagrange
[G:N]=|G/N|=|G|/|N|
Das zweite gibt mir ja Auskunft über die Anzahl der Elemente in einer Faktorgruppe, nämlich die Anzahl der Elemente in G geteilt durch die des Normalteilers. Dies steht aber im Widerspruch zur Folgerung, die ich aus dem Ersten ziehen würde, nämlich:
Es sind ja in G/N alle Elemente der Form gN, wobei g aus G ist, enthalten. Wenn jetzt dieses g zufällig nicht nur aus G sondern auch noch aus N ist, dann wird gN zu N, also dem Einselement in G/N, was mich zu der Aussage führt, dass |G/N|=|G|-|N|+1 (im Gegensatz zu Lagrange (der wohl richtig ist) mit |G/N|=|G|/|N|), weil es ebend genau |N| Elemente aus G gibt, die zu N werden (deshalb das +1) und alle Anderen erhalten bleiben (also ein [mm] gN\not=N [/mm] ergeben).
Ich hoffe ihr wisst was ich meine und versteht mein Problem und könnt mich aufklären 
Danke schonmal!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:35 Do 08.01.2009 | | Autor: | PeterB |
Du hast schon recht: nur die Elemente aus $N$ werden zum Einselement. Allerdings können auch andere Elemente zusammenfallen: [mm] $g.h\in [/mm] G$ und $gN=hN$. Das heißt, wenn $g$ fest ist, fällt ein beliebiges Element $h=gn$ mit $g$ zusammen. Es sind also jeweils $|N|$ Elemente, die mit $g$ zusammenfallen, und das ist genau die Formel von Lagrange.
|
|
|
| |
|
Okay - viel Dank schonmal für die Antwort! Das leuchtet mir jetzt ein 
Eine Frage allerdings noch, die sich gerade auf das bezieht, was du geschrieben hast - vielleicht weißt du das ja auch:
Sind es für jedes g [mm] \in [/mm] G : g [mm] \not\in [/mm] N genau |N| Elemente, die mit g zusammenfallen, oder könnte es sein, dass für ein g 1,5*|N| Elemente zusammen fallen, für ein anderes g' dafür nur 0,5*|N| Elemente?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:14 Do 08.01.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Okay - viel Dank schonmal für die Antwort! Das leuchtet mir
> jetzt ein
>
> Eine Frage allerdings noch, die sich gerade auf das
> bezieht, was du geschrieben hast - vielleicht weißt du das
> ja auch:
> Sind es für jedes g [mm]\in[/mm] G : g [mm]\not\in[/mm] N genau |N|
> Elemente, die mit g zusammenfallen, oder könnte es sein,
> dass für ein g 1,5*|N| Elemente zusammen fallen, für ein
> anderes g' dafür nur 0,5*|N| Elemente?
Nein, es sind immer genau $|N|$ Elemente. Das zeigst du wie folgt:
1) es gilt $N g = N h$ genau dann, wenn $h = n g$ ist fuer ein $n [mm] \in [/mm] N$;
2) die Nebenklasse $N g = [mm] \{ n g \mid n \in N \}$ [/mm] hat genau $|N|$ Elemente, da die Abbildung $N [mm] \to [/mm] N g$, $n [mm] \mapsto [/mm] n g$ eine Bijektion ist.
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:04 So 11.01.2009 | | Autor: | JustSmile |
Danke :)
Gute und kurze Erklärung!
lg
|
|
|
|
