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| Aufgabe | | Zeige mit Hilfe des Eisenstein Kriterium, dass das Polynom [mm] Y^{n}+X^{n}-1 \in \IQ[X,Y] [/mm] irreduzibel ist. |
Hallo,
ich habe versucht die Aufgabe zu lösen, kommaber nicht ganz weiter, weil ich nicht ganz verstehe, was die Schreibweise [mm] \IQ[X,Y] [/mm] bedeuten soll. Bedeutet es, so wie ich es vermute, dass das Polynom 2 Variablen hat, also sowohl X als auch Y die Variablen sind? Wenn ich wüsste, was diese Schreibweise bedeutet, dann kann ich hoffentlich dieses [mm] \pi [/mm] bestimmen, dass die 3 Kriterien erfüllt:
Das Eisenstein-Kriterium habe ich so angewendet:
[mm] \IQ [/mm] ist ein faktorieller Ring, und hier [mm] Y^{n}+X^{n}-1 \in \IQ[X,Y].
[/mm]
Dann gibt es ein irreduzibles Element [mm] \pi \in \IQ [/mm] mit
1) [mm] \pi [/mm] teilt den Leitkoeffizienten nicht. Meine Frage hierzu:
Ist der Leitkoeff. bei meinem Polynom also die 1 vor dem [mm] Y^{n} [/mm] oder vor dem [mm] X^{n}?
[/mm]
2) [mm] \pi [/mm] teilt alle [mm] a_{i} [/mm] für alle i [mm] \le [/mm] n-1. Hier ist quasi nur der hintere konstante Faktor 1 gemeint, oder?
3) [mm] \pi^{2} [/mm] teilt [mm] a_{0} [/mm] nicht, also hier die 1.
Dann folgt daraus, dass das Polynom irreduzibel in [mm] \IQ[X,Y] [/mm] ist.
Ich würd mich freuen, wenn mir jemand helfen kann.
Danke.
Milka
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:28 Di 02.01.2007 | | Autor: | moudi |
Hallo Milka
[mm] $\IQ[X,Y]$ [/mm] ist der Polynomring über [mm] $\IQ$ [/mm] in zwei Variablen. Man kann aber auch [mm] $\IQ[X,Y]=\IQ[X][Y]$ [/mm] als Polynomring in der Variablen Y mit Koeffizienten in [mm] $\IQ[X]$ [/mm] ansehen, und das soll hier so gemacht werden.
Das Polynom ist dann [mm] $Y^n+(X^n-1)Y^0$. [/mm] Es gilt also [mm] $a_n=1, a_{n-1}=a_{n-2}=\dots=a_1=0$ [/mm] und [mm] $a_0=X^n-1$.
[/mm]
Für [mm] $\pi$ [/mm] würde ich das Primelement [mm] $\pi=X-1$ [/mm] im Polynomring [mm] $\IQ[X]$ [/mm] nehmen.
Es gilt dann $X-1$ teilt [mm] $X^n-1$, [/mm] aber [mm] $(X-1)^2$ [/mm] teilt nicht [mm] $X^n-1$.
[/mm]
mfG Moudi
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Hallo moudi,
vielen Dank für deine Antwort. Diese hat mir sehr weiter geholfen 
Ich hab aber noch eine Frage zu deiner Antwort.
> Das Polynom ist dann [mm]Y^n+(X^n-1)Y^0[/mm]. Es gilt also [mm]a_n=1, a_{n-1}=a_{n-2}=\dots=a_1=0[/mm]
> und [mm]a_0=X^n-1[/mm].
> Für [mm]\pi[/mm] würde ich das Primelement [mm]\pi=X-1[/mm] im Polynomring
> [mm]\IQ[X][/mm] nehmen.
>
> Es gilt dann [mm]X-1[/mm] teilt [mm]X^n-1[/mm], aber [mm](X-1)^2[/mm] teilt nicht
> [mm]X^n-1[/mm].
Nach dem Eisenstein-Kriterium darf hier bei der Aufgabe [mm] \pi= [/mm] X-1 nicht [mm] a_{n} [/mm] = 1 teilen.
Aber meiner Meinung nach wäre doch 1 durch X-1 teilbar in [mm] \IQ[X].
[/mm]
Nämlich: 1 = (X-1) * [mm] \bruch{1}{X-1}
[/mm]
Oder lieg ich da falsch?
Dann habe ich noch eine Frage:
Wie kommt man drauf, dass [mm] (X-1)^{2} [/mm] nicht [mm] X^{n}-1 [/mm] teilt. Wie kann man das überprüfen?
Danke für deine Hilfe.
Milka
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:31 Mi 03.01.2007 | | Autor: | statler |
Guten Morgen Anna!
> Ich hab aber noch eine Frage zu deiner Antwort.
Wenn man genau zählt, sind es 2 Fragen, aber das ist auch OK
> > Das Polynom ist dann [mm]Y^n+(X^n-1)Y^0[/mm]. Es gilt also [mm]a_n=1, a_{n-1}=a_{n-2}=\dots=a_1=0[/mm]
> > und [mm]a_0=X^n-1[/mm].
> > Für [mm]\pi[/mm] würde ich das Primelement [mm]\pi=X-1[/mm] im
> Polynomring
> > [mm]\IQ[X][/mm] nehmen.
> >
> > Es gilt dann [mm]X-1[/mm] teilt [mm]X^n-1[/mm], aber [mm](X-1)^2[/mm] teilt nicht
> > [mm]X^n-1[/mm].
>
> Nach dem Eisenstein-Kriterium darf hier bei der Aufgabe
> [mm]\pi=[/mm] X-1 nicht [mm]a_{n}[/mm] = 1 teilen.
> Aber meiner Meinung nach wäre doch 1 durch X-1 teilbar in
> [mm]\IQ[X].[/mm]
> Nämlich: 1 = (X-1) * [mm]\bruch{1}{X-1}[/mm]
>
> Oder lieg ich da falsch?
Allerdings, und zwar völlig! [mm] \bruch{1}{X-1} [/mm] ist doch kein Element aus [mm]\IQ[/mm][X].
> Dann habe ich noch eine Frage:
> Wie kommt man drauf, dass [mm](X-1)^{2}[/mm] nicht [mm]X^{n}-1[/mm] teilt.
> Wie kann man das überprüfen?
Man kann sicher [mm]X^{n}-1[/mm] durch X-1 teilen und erhält [mm] X^{n-1} [/mm] + ... + 1. Das Resultat ist [mm] X^{n-1} [/mm] + ... + 1
Wenn das noch mal durch X-1 teilbar wäre, hätte dieses Polynom ja 1 als Nullstelle. Aber das hat es nicht!
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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