Einsetzungshomomorphismus < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo ihr!
Habe bei folgender Aufgabe überhaupt keine Ahnung, wie ich daran gehen soll. Brauch dringend Hilfe!
Sie lautet folgendermaßen:
Sei [mm] q:=x^{3}+2x+2\in\IQ[x], a\in\IC [/mm] eine Nullstelle von q und [mm] \gamma [/mm] : [mm] IQ[x]\to\IC [/mm] der Einsetzungshomomorphismus [mm] p\mapsto [/mm] p(a).
a) Man beschreibe [mm] Kern(\gamma).
[/mm]
b) Ist [mm] Bild(\gamma) [/mm] ein Unterkörper von [mm] \IC [/mm] ?
c) Warum gilt [mm] Bild(\gamma)=\{u+va+wa^{2} mit u,v,w\in \IQ\} [/mm] ?
d) Man schreibe [mm] a^{-1} [/mm] in der Form [mm] u+va+wa^{2} [/mm] mit [mm] u,v,w\in\IQ.
[/mm]
So, nun ist mein größtes Problem, dass ich nicht begriffen habe, was ein Einsetzungshom. ist. Kann mir das vielleicht jemand leicht erklären?
Lieben Gruß Jessi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:26 So 03.04.2005 | | Autor: | andreas |
hi
also ich probiere mal eine erklärung, was der einsetzungshomomorphismus ist. man wählt eine zahl, z.b. $1$ (bei deiner aufgabe wählst du anstatt der $1$ $a$, also eine nullstelle des polynoms $q = [mm] x^3 [/mm] + 2x + 2$). dann ist der einsetzungshomomorphismus [mm] $\gamma: \mathbb{Q}[x] \longrightarrow \mathbb{C}$ [/mm] einfach die abbildung, die alle polynome aus [mm] $\mathbb{Q}[x]$ [/mm] nimmt und anstatt der unbekannten $x$ immer $1$ einsetzt, also ist in diesem fall z.b. [m] \gamma(x^2 + 1) = 1^2 + 1 = 2, \; \gamma\left(\frac{1}{10}x^{1000}\right) = \frac{1}{10}1^{1000} = \frac{1}{10}, \; \gamma(x^2 - 1) = 1^2 - 1 = 0 [/m] oder [m] \gamma(5) = 5 [/m]. korrekterweise sollte man den homomorphismus noch mit dem einzusetzenden element indizieren, also hier [mm] $\gamma_1$, [/mm] aber lassen wir das. die abbildung ist ein homomorphismus, da für zwei elemente $f, g [mm] \in \mathbb{Q}[x]$ [/mm] gilt [mm] $\gamma(f [/mm] + g) = [mm] \gamma(f) [/mm] + [mm] \gamma(g)$ [/mm] und [mm] $\gamma(f \cdot [/mm] g) = [mm] \gamma(f) \cdot \gamma(g)$ [/mm] - also mit der multiplikation und der addition verträglich ist.
nun mal zu deiner aufgabe:
> Sei [mm]q:=x^{3}+2x+2\in\IQ[x], a\in\IC[/mm] eine Nullstelle von q
> und [mm]\gamma[/mm] : [mm]IQ[x]\to\IC[/mm] der Einsetzungshomomorphismus
> [mm]p\mapsto[/mm] p(a).
> a) Man beschreibe [mm]Kern(\gamma).[/mm]
der kern sind ja gerade die elemente von [mm] $\mathbb{Q} [/mm] [x]$, die unter [mm] $\gamma$ [/mm] auf die null abgebildet werden. was gilt dann z.b. für [mm] $\gamma(q)$? [/mm]
> b) Ist [mm]Bild(\gamma)[/mm] ein Unterkörper von [mm]\IC[/mm] ?
habt ihr den homomorphiesatz für ringe behandelt, der in diesm fall besagt, dass
[m] {}^{\displaystyle \mathbb{Q}[x]} /_{ \displaystyle \textrm{Kern} (\gamma)} \cong \textrm{Bild} (\gamma) [/m]
> c) Warum gilt [mm]Bild(\gamma)=\{u+va+wa^{2} mit u,v,w\in \IQ\}[/mm]
> ?
du weißt, dass [mm] $a^3 [/mm] + 2a + 2 = 0$. das kann man hier mit hilfe von polynomdivision gewinnbringend einsetzen ...
> d) Man schreibe [mm]a^{-1}[/mm] in der Form [mm]u+va+wa^{2}[/mm] mit
> [mm]u,v,w\in\IQ.[/mm]
hier werden ja [mm]u,v,w\in\IQ.[/mm] gesucht, so dass $a [mm] \cdot (u+va+wa^{2}) [/mm] = 1$ - so ist ja inverses element definiert. ausmultiplizert und auf eine seite gebrach ergibt dies [m] wa^3 + va^2 + ua - 1 = 0 [/m]. andererseits weißt du auch hier wieder, dass [mm] $a^3 [/mm] + 2a + 2 = 0$. hier könnte dann vielleicht ein koeffizientenvergleich weiterhelfen.
das waren jetzt nur mal ein paar kurze tipps. wenn du genauere hilfe haben willst frage einfach nach. das wichtigste ist vermutlich, dass du erstmal verstehst was ein einsetzungshomomorphismus macht!
grüße
andreas
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Hallo Andreas!
> also ich probiere mal eine erklärung, was der
> einsetzungshomomorphismus ist. man wählt eine zahl, z.b. [mm]1[/mm]
> (bei deiner aufgabe wählst du anstatt der [mm]1[/mm] [mm]a[/mm], also eine
> nullstelle des polynoms [mm]q = x^3 + 2x + 2[/mm]). dann ist der
> einsetzungshomomorphismus [mm]\gamma: \mathbb{Q}[x] \longrightarrow \mathbb{C}[/mm]
> einfach die abbildung, die alle polynome aus [mm]\mathbb{Q}[x][/mm]
> nimmt und anstatt der unbekannten [mm]x[/mm] immer [mm]1[/mm] einsetzt, also
> ist in diesem fall z.b. [m]\gamma(x^2 + 1) = 1^2 + 1 = 2, \; \gamma\left(\frac{1}{10}x^{1000}\right) = \frac{1}{10}1^{1000} = \frac{1}{10}, \; \gamma(x^2 - 1) = 1^2 - 1 = 0[/m]
> oder [m]\gamma(5) = 5 [/m].
Wow, und das war jetzt nur dein Versuch einer Erklärung?! Also das habe ich gleich auf Anhieb verstanden. Du solltest vielleicht mal für meinen Prof einspringen, bei dem habe ich das nämlich nicht kapiert. Danke!
> homomorphismus noch mit dem einzusetzenden element
> indizieren, also hier [mm]\gamma_1[/mm], aber lassen wir das. die
> abbildung ist ein homomorphismus, da für zwei elemente [mm]f, g \in \mathbb{Q}[x][/mm]
> gilt [mm]\gamma(f + g) = \gamma(f) + \gamma(g)[/mm] und [mm]\gamma(f \cdot g) = \gamma(f) \cdot \gamma(g)[/mm]
> - also mit der multiplikation und der addition verträglich
> ist.
Ja, das wüßte ich noch, aber lieb, dass du es nochmal dazu geschrieben hast!
>
>
> nun mal zu deiner aufgabe:
>
> > Sei [mm]q:=x^{3}+2x+2\in\IQ[x], a\in\IC[/mm] eine Nullstelle von q
> > und [mm]\gamma[/mm] : [mm]IQ[x]\to\IC[/mm] der Einsetzungshomomorphismus
> > [mm]p\mapsto[/mm] p(a).
> > a) Man beschreibe [mm]Kern(\gamma).[/mm]
>
> der kern sind ja gerade die elemente von [mm]\mathbb{Q} [x][/mm],
> die unter [mm]\gamma[/mm] auf die null abgebildet werden. was gilt
> dann z.b. für [mm]\gamma(q)[/mm]?
Ist [mm] \gamma(q)=0 [/mm] und [mm] Kern(\gamma)=\{q\in \IQ / \gamma(q)=0 \} [/mm] ?
>
> > b) Ist [mm]Bild(\gamma)[/mm] ein Unterkörper von [mm]\IC[/mm] ?
>
> habt ihr den homomorphiesatz für ringe behandelt, der in
> diesm fall besagt, dass
>
> [m]{}^{\displaystyle \mathbb{Q}[x]} /_{ \displaystyle \textrm{Kern} (\gamma)} \cong \textrm{Bild} (\gamma)[/m]
Ja, den Satz haben wir behandelt, d.h. ich weiß, dass "Der Bildring [mm] R\gamma [/mm] isomorph zum Faktorring nach dem Kern des Homomorphismus ist". Aber wie hilft mir das weiter mit meiner Unterkörper-Frage?
>
> > c) Warum gilt [mm]Bild(\gamma)=\{u+va+wa^{2} mit u,v,w\in \IQ\}[/mm]
> > ?
>
> du weißt, dass [mm]a^3 + 2a + 2 = 0[/mm]. das kann man hier mit
> hilfe von polynomdivision gewinnbringend einsetzen ...
Ne, das verstehe ich leider nicht! Soll ich [mm] a^{3}+2a+2 [/mm] durch [mm] wa^{2}+va+u [/mm] teilen? Und dann?
>
> > d) Man schreibe [mm]a^{-1}[/mm] in der Form [mm]u+va+wa^{2}[/mm] mit
> > [mm]u,v,w\in\IQ.[/mm]
>
> hier werden ja [mm]u,v,w\in\IQ.[/mm] gesucht, so dass [mm]a \cdot (u+va+wa^{2}) = 1[/mm]
> - so ist ja inverses element definiert. ausmultiplizert und
> auf eine seite gebrach ergibt dies [m]wa^3 + va^2 + ua - 1 = 0 [/m].
> andererseits weißt du auch hier wieder, dass [mm]a^3 + 2a + 2 = 0[/mm].
> hier könnte dann vielleicht ein koeffizientenvergleich
> weiterhelfen.
Koeffizientenvergleich? In meinem Buch steht, dass bei einem Koeffizientenvergleich die Polynome koeffizientenweise übereinstimmen sollen! Wie kann denn w mit 1 oder u mit 2 übereinstimmen?
Oder soll ich die Polynome gleichsetzen?
Und was bringt mir das nun mit dem Einsetzungshom.? Ich brauche doch gar nichts einsetzen, oder doch?
Verwirrung? Wäre echt nett, wenn du mir noch mal helfen könntest! Wie du siehst ist Algebra überhaupt nicht meine Stärke! Danke
Gruß Jessi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:02 So 03.04.2005 | | Autor: | andreas |
hallo Jessi
> Wow, und das war jetzt nur dein Versuch einer Erklärung?!
> Also das habe ich gleich auf Anhieb verstanden. Du solltest
> vielleicht mal für meinen Prof einspringen, bei dem habe
> ich das nämlich nicht kapiert. Danke!
danke. ok, es war etwas mehr als ein versuch. 
ich werfe jetzt in der antwort vielleicht mit ein paar begriffen um mich, mit denen du nicht so viel anfangen kannst (ist das eine algebra vorlesung oder nur ein teil aus einer linearen algebra vorlesung?). wenn dem so sein sollte, frage einfach nach, das kann man meist auch etwas anders lösen, wenn ihr die begriffe oder sätze noch nicht hattet.
> > nun mal zu deiner aufgabe:
> >
> > > Sei [mm]q:=x^{3}+2x+2\in\IQ[x], a\in\IC[/mm] eine Nullstelle von q
> > > und [mm]\gamma[/mm] : [mm]IQ[x]\to\IC[/mm] der Einsetzungshomomorphismus
> > > [mm]p\mapsto[/mm] p(a).
> > > a) Man beschreibe [mm]Kern(\gamma).[/mm]
> >
> > der kern sind ja gerade die elemente von [mm]\mathbb{Q} [x][/mm],
> > die unter [mm]\gamma[/mm] auf die null abgebildet werden. was gilt
> > dann z.b. für [mm]\gamma(q)[/mm]?
>
> Ist [mm]\gamma(q)=0[/mm] und [mm]Kern(\gamma)=\{q\in \IQ / \gamma(q)=0 \}[/mm]
> ?
da hast du ein $[x]$ vergessen, sonst stimmt das aber. es gilt [mm] $\gamma(q) [/mm] = 0$, da ja gerade eine nullstelle von $q$ eingesetzt wurde und die nun mal die eigenschaft haben das polynom zu null zu machen. der kern hat ja die form [m] \textrm{Kern}(\gamma) = \{ q \in \mathbb{Q} \red{[x]}: \gamma(q) = 0 \} [/m] in diesem fall ist es das von $q$ erzeugte hauptideal $(q)$, da $q$ irreduzibel ist! insbesondere ist das ideal $(q)$ prim und da $q [mm] \not= [/mm] 0$ sowie [mm] $\mathbb{Q}[x]$ [/mm] hauptidealring auch maximal!
> > > b) Ist [mm]Bild(\gamma)[/mm] ein Unterkörper von [mm]\IC[/mm] ?
> >
> > habt ihr den homomorphiesatz für ringe behandelt, der in
> > diesm fall besagt, dass
> >
> > [m]{}^{\displaystyle \mathbb{Q}[x]} /_{ \displaystyle \textrm{Kern} (\gamma)} \cong \textrm{Bild} (\gamma)[/m]
>
> Ja, den Satz haben wir behandelt, d.h. ich weiß, dass "Der
> Bildring [mm]R\gamma[/mm] isomorph zum Faktorring nach dem Kern des
> Homomorphismus ist". Aber wie hilft mir das weiter mit
> meiner Unterkörper-Frage?
hier kommt nun die gerade angesprochene eigenschaft, dass der kern ein maximales ideal ist ins spiel, denn es gilt für eine ideal [mm] $\mathfrak{m} \subset \mathbb{Q} [/mm] [x]$, dass
[m] \mathfrak{m} [/m] maximal [mm] $\Longleftrightarrow$[/mm] [m] {}^{\displaystyle \mathbb{Q} [x] } /_{\displaystyle \mathfrak{m}} [/m] körper
(ich hoffe ihr hattet diesen satz). dann folgt nach obigem ja schon die aussage.
> > > c) Warum gilt [mm]Bild(\gamma)=\{u+va+wa^{2} mit u,v,w\in \IQ\}[/mm]
> > > ?
> >
> > du weißt, dass [mm]a^3 + 2a + 2 = 0[/mm]. das kann man hier mit
> > hilfe von polynomdivision gewinnbringend einsetzen ...
>
> Ne, das verstehe ich leider nicht! Soll ich [mm]a^{3}+2a+2[/mm]
> durch [mm]wa^{2}+va+u[/mm] teilen? Und dann?
ein beliebiges objekt aus [mm] $\textrm{Bild}(\gamma)$ [/mm] hat ja erstmal die form [mm] $c_na^n [/mm] + [mm] c_{n-1}a^{n-1} [/mm] + [mm] \hdots [/mm] + c_1a + [mm] c_0$ [/mm] (das entsteht ja aus dem polynom [mm] $c_nx^n [/mm] + [mm] c_{n-1}x^{n-1} [/mm] + [mm] \hdots [/mm] + [mm] c_1 [/mm] x + [mm] c_0$, [/mm] wenn man für $x$ einfach $a$ einsetzt, was ja durch [mm] $\gamma$ [/mm] passiert). nun sollst du zeigen, dass es einen ausdruck [mm] $wa^2 [/mm] + va + u$ gibt, der den gleichen wert hat. wenn due poynomdivision des polynoms [mm] $c_nx^n [/mm] + [mm] c_{n-1}x^{n-1} [/mm] + [mm] \hdots [/mm] + [mm] c_1 [/mm] x + [mm] c_0$ [/mm] durch das polynom [mm] $x^3 [/mm] + 2x + 2$ machst erhält man ja gerade eine darstellung
[m] c_nx^n + c_{n-1}x^{n-1} + \hdots + c_1 x + c_0 = g(x) \cdot (x^3 + 2x + 2) + r(x) [/m],
wobei $r(x)$ den grad $2$ oder kleiner hat, also von der form $r(x) = [mm] wx^2 [/mm] + vx + u$ mit $u, v, w [mm] \in \mathbb{Q}$ [/mm] ist (das habt ihr bestimmt mal in der vorlesung gemacht). wenn du nun überall $a$ statt $x$ einstetzt erhälst du
[m] c_na^n + c_{n-1}a^{n-1} + \hdots + c_1 a + c_0 = g(a) \cdot (a^3 + 2a + 2) + wa^2 + va + u [/m].
da nun aber $a$ ein nullstelle von [mm] $x^3 [/mm] + 2x + 2$ ist fällt dieser teil raus, da er null ist und somit folgt
[m] c_na^n + c_{n-1}a^{n-1} + \hdots + c_1 a + c_0 = wa^2 + va + u [/m].
> > > d) Man schreibe [mm]a^{-1}[/mm] in der Form [mm]u+va+wa^{2}[/mm] mit
> > > [mm]u,v,w\in\IQ.[/mm]
> >
> > hier werden ja [mm]u,v,w\in\IQ.[/mm] gesucht, so dass [mm]a \cdot (u+va+wa^{2}) = 1[/mm]
> > - so ist ja inverses element definiert. ausmultiplizert und
> > auf eine seite gebrach ergibt dies [m]wa^3 + va^2 + ua - 1 = 0 [/m].
> > andererseits weißt du auch hier wieder, dass [mm]a^3 + 2a + 2 = 0[/mm].
> > hier könnte dann vielleicht ein koeffizientenvergleich
> > weiterhelfen.
> Koeffizientenvergleich? In meinem Buch steht, dass bei
> einem Koeffizientenvergleich die Polynome
> koeffizientenweise übereinstimmen sollen! Wie kann denn w
> mit 1 oder u mit 2 übereinstimmen?
> Oder soll ich die Polynome gleichsetzen?
das was du über koeffizientenvergleich schreibst ist schon mal sehr gut: der koeffizient bei [mm] $a^3$ [/mm] soll bei beiden gleich sein der bei [mm] $a^2$ [/mm] usw. damit der konstante anteil gleich sein kann - beim ersten ist er ja $-1$, beim zweiten ausdruck ist er $2$ kann man ja z.b. die erste gleichung mal mit $-2$ durchmultiplizieren, dann erhält man [mm] $-2wa^3 -2va^2 [/mm] - 2ua + 2 = 0$ und jetzt kannst du ja koeffizientenweise gleichungen aufstellen um die werte von $u, v$ und $w$ herauszufinden:
[m] \begin{array}{l} a^3: \quad -2w = 1 \\ a^2 : \quad -2v = 0 \\ ... \end{array} [/m]
> Und was bringt mir das nun mit dem Einsetzungshom.? Ich
> brauche doch gar nichts einsetzen, oder doch?
die aufgabe von dem homorphismus ist hier ja immer $a$ statt $x$ einzusetzen. dadurch wird diese konstruktion ja erst möglich. polynom haben ja an für sich beliebig hohen grad - dadurch, dass aber $a$ eingesetzt wird und dies eine nullstelle des polynoms $q$ vom grad $3$ ist, kriegt man die recht schöne darstellung des bildes hin.
ich hoffe ich habe dich mit der antwort jetzt nicht zu sehr verwirrt ...
grüße
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:24 So 03.04.2005 | | Autor: | Staatsi21 |
Hallo Andreas!
> > Wow, und das war jetzt nur dein Versuch einer Erklärung?!
> > Also das habe ich gleich auf Anhieb verstanden. Du solltest
> > vielleicht mal für meinen Prof einspringen, bei dem habe
> > ich das nämlich nicht kapiert. Danke!
>
> danke. ok, es war etwas mehr als ein versuch.
>
> ich werfe jetzt in der antwort vielleicht mit ein paar
> begriffen um mich, mit denen du nicht so viel anfangen
> kannst (ist das eine algebra vorlesung oder nur ein teil
> aus einer linearen algebra vorlesung?).
Ist eine Algebra-Vorlesung (3. Sem.).
> sollte, frage einfach nach, das kann man meist auch etwas
> anders lösen, wenn ihr die begriffe oder sätze noch nicht
> hattet.
>
> > > nun mal zu deiner aufgabe:
> > >
> > > > Sei [mm]q:=x^{3}+2x+2\in\IQ[x], a\in\IC[/mm] eine Nullstelle von q
> > > > und [mm]\gamma[/mm] : [mm]IQ[x]\to\IC[/mm] der Einsetzungshomomorphismus
> > > > [mm]p\mapsto[/mm] p(a).
> > > > a) Man beschreibe [mm]Kern(\gamma).[/mm]
> > >
> > > der kern sind ja gerade die elemente von [mm]\mathbb{Q} [x][/mm],
> > > die unter [mm]\gamma[/mm] auf die null abgebildet werden. was gilt
>
> > > dann z.b. für [mm]\gamma(q)[/mm]?
> >
> > Ist [mm]\gamma(q)=0[/mm] und [mm]Kern(\gamma)=\{q\in \IQ / \gamma(q)=0 \}[/mm]
> > ?
Oh ja, hab ich vergessen, aber ist klar!
> da hast du ein [mm][x][/mm] vergessen, sonst stimmt das aber. es
> gilt [mm]\gamma(q) = 0[/mm], da ja gerade eine nullstelle von [mm]q[/mm]
> eingesetzt wurde und die nun mal die eigenschaft haben das
> polynom zu null zu machen. der kern hat ja die form
> [m]\textrm{Kern}(\gamma) = \{ q \in \mathbb{Q} \red{[x]}: \gamma(q) = 0 \}[/m]
> in diesem fall ist es das von [mm]q[/mm] erzeugte hauptideal [mm](q)[/mm], da
> [mm]q[/mm] irreduzibel ist! insbesondere ist das ideal [mm](q)[/mm] prim und
> da [mm]q \not= 0[/mm] sowie [mm]\mathbb{Q}[x][/mm] hauptidealring auch
> maximal!
Ja, das ist mir bekannt. Wäre aber nie auf die Idee gekommen das hier zu benutzen! :-(
>
> > > > b) Ist [mm]Bild(\gamma)[/mm] ein Unterkörper von [mm]\IC[/mm] ?
> > >
> > > habt ihr den homomorphiesatz für ringe behandelt, der in
> > > diesm fall besagt, dass
> > >
> > > [m]{}^{\displaystyle \mathbb{Q}[x]} /_{ \displaystyle \textrm{Kern} (\gamma)} \cong \textrm{Bild} (\gamma)[/m]
> >
> > Ja, den Satz haben wir behandelt, d.h. ich weiß, dass "Der
> > Bildring [mm]R\gamma[/mm] isomorph zum Faktorring nach dem Kern des
> > Homomorphismus ist". Aber wie hilft mir das weiter mit
> > meiner Unterkörper-Frage?
>
> hier kommt nun die gerade angesprochene eigenschaft, dass
> der kern ein maximales ideal ist ins spiel, denn es gilt
> für eine ideal [mm]\mathfrak{m} \subset \mathbb{Q} [x][/mm], dass
>
> [m]\mathfrak{m}[/m] maximal [mm]\Longleftrightarrow[/mm] [m]{}^{\displaystyle \mathbb{Q} [x] } /_{\displaystyle \mathfrak{m}}[/m]
> körper
>
> (ich hoffe ihr hattet diesen satz). dann folgt nach obigem
> ja schon die aussage.
Ja, das hatten wir auch, aber irgendwie komme ich auf solche Sachen immer nicht alleine!
>
> > > > c) Warum gilt [mm]Bild(\gamma)=\{u+va+wa^{2} mit u,v,w\in \IQ\}[/mm]
> > > > ?
> > >
> > > du weißt, dass [mm]a^3 + 2a + 2 = 0[/mm]. das kann man hier mit
> > > hilfe von polynomdivision gewinnbringend einsetzen ...
> >
> > Ne, das verstehe ich leider nicht! Soll ich [mm]a^{3}+2a+2[/mm]
> > durch [mm]wa^{2}+va+u[/mm] teilen? Und dann?
>
> ein beliebiges objekt aus [mm]\textrm{Bild}(\gamma)[/mm] hat ja
> erstmal die form [mm]c_na^n + c_{n-1}a^{n-1} + \hdots + c_1a + c_0[/mm]
> (das entsteht ja aus dem polynom [mm]c_nx^n + c_{n-1}x^{n-1} + \hdots + c_1 x + c_0[/mm],
> wenn man für [mm]x[/mm] einfach [mm]a[/mm] einsetzt, was ja durch [mm]\gamma[/mm]
> passiert). nun sollst du zeigen, dass es einen ausdruck
> [mm]wa^2 + va + u[/mm] gibt, der den gleichen wert hat. wenn due
> poynomdivision des polynoms [mm]c_nx^n + c_{n-1}x^{n-1} + \hdots + c_1 x + c_0[/mm]
> durch das polynom [mm]x^3 + 2x + 2[/mm] machst erhält man ja gerade
> eine darstellung
>
> [m]c_nx^n + c_{n-1}x^{n-1} + \hdots + c_1 x + c_0 = g(x) \cdot (x^3 + 2x + 2) + r(x) [/m],
> wobei [mm]r(x)[/mm] den grad [mm]2[/mm] oder kleiner hat, also von der form
> [mm]r(x) = wx^2 + vx + u[/mm] mit [mm]u, v, w \in \mathbb{Q}[/mm] ist (das
> habt ihr bestimmt mal in der vorlesung gemacht). wenn du
> nun überall [mm]a[/mm] statt [mm]x[/mm] einstetzt erhälst du
>
> [m]c_na^n + c_{n-1}a^{n-1} + \hdots + c_1 a + c_0 = g(a) \cdot (a^3 + 2a + 2) + wa^2 + va + u [/m].
> da nun aber [mm]a[/mm] ein nullstelle von [mm]x^3 + 2x + 2[/mm] ist fällt
> dieser teil raus, da er null ist und somit folgt
>
> [m]c_na^n + c_{n-1}a^{n-1} + \hdots + c_1 a + c_0 = wa^2 + va + u [/m].
>
Ja super, das hab ich jetzt auch begriffen!
>
> > > > d) Man schreibe [mm]a^{-1}[/mm] in der Form [mm]u+va+wa^{2}[/mm] mit
> > > > [mm]u,v,w\in\IQ.[/mm]
> > >
> > > hier werden ja [mm]u,v,w\in\IQ.[/mm] gesucht, so dass [mm]a \cdot (u+va+wa^{2}) = 1[/mm]
> > > - so ist ja inverses element definiert. ausmultiplizert und
> > > auf eine seite gebrach ergibt dies [m]wa^3 + va^2 + ua - 1 = 0 [/m].
> > > andererseits weißt du auch hier wieder, dass [mm]a^3 + 2a + 2 = 0[/mm].
> > > hier könnte dann vielleicht ein koeffizientenvergleich
> > > weiterhelfen.
> > Koeffizientenvergleich? In meinem Buch steht, dass bei
> > einem Koeffizientenvergleich die Polynome
> > koeffizientenweise übereinstimmen sollen! Wie kann denn w
> > mit 1 oder u mit 2 übereinstimmen?
> > Oder soll ich die Polynome gleichsetzen?
>
> das was du über koeffizientenvergleich schreibst ist schon
> mal sehr gut: der koeffizient bei [mm]a^3[/mm] soll bei beiden
> gleich sein der bei [mm]a^2[/mm] usw. damit der konstante anteil
> gleich sein kann - beim ersten ist er ja [mm]-1[/mm], beim zweiten
> ausdruck ist er [mm]2[/mm] kann man ja z.b. die erste gleichung mal
> mit [mm]-2[/mm] durchmultiplizieren, dann erhält man [mm]-2wa^3 -2va^2 - 2ua + 2 = 0[/mm]
> und jetzt kannst du ja koeffizientenweise gleichungen
> aufstellen um die werte von [mm]u, v[/mm] und [mm]w[/mm] herauszufinden:
>
> [m]\begin{array}{l} a^3: \quad -2w = 1 \\ a^2 : \quad -2v = 0 \\ ... \end{array}[/m]
>
Ach so, ja dann verstehe ich die Aufgabe auch!
>
> > Und was bringt mir das nun mit dem Einsetzungshom.? Ich
> > brauche doch gar nichts einsetzen, oder doch?
>
> die aufgabe von dem homorphismus ist hier ja immer [mm]a[/mm] statt
> [mm]x[/mm] einzusetzen. dadurch wird diese konstruktion ja erst
> möglich. polynom haben ja an für sich beliebig hohen grad -
> dadurch, dass aber [mm]a[/mm] eingesetzt wird und dies eine
> nullstelle des polynoms [mm]q[/mm] vom grad [mm]3[/mm] ist, kriegt man die
> recht schöne darstellung des bildes hin.
>
>
> ich hoffe ich habe dich mit der antwort jetzt nicht zu sehr
> verwirrt ...
>
Nein, überhaupt nicht. Du hast mir das richtig gut vermittelt.
Also, vielen, vielen Dank für deine aufwendige Antwort und den netten Kontakt!
Schönen Sonntag noch... Jessi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:27 Mo 04.04.2005 | | Autor: | andreas |
hi Jessi
> > da hast du ein [mm][x][/mm] vergessen, sonst stimmt das aber. es
> > gilt [mm]\gamma(q) = 0[/mm], da ja gerade eine nullstelle von [mm]q[/mm]
> > eingesetzt wurde und die nun mal die eigenschaft haben das
> > polynom zu null zu machen. der kern hat ja die form
> > [m]\textrm{Kern}(\gamma) = \{ q \in \mathbb{Q} \red{[x]}: \gamma(q) = 0 \}[/m]
> > in diesem fall ist es das von [mm]q[/mm] erzeugte hauptideal [mm](q)[/mm], da
> > [mm]q[/mm] irreduzibel ist! insbesondere ist das ideal [mm](q)[/mm] prim und
> > da [mm]q \not= 0[/mm] sowie [mm]\mathbb{Q}[x][/mm] hauptidealring auch
> > maximal!
>
> Ja, das ist mir bekannt. Wäre aber nie auf die Idee
> gekommen das hier zu benutzen! :-(
ist dir klar, dass $q$ irreduzibel ist?
> Ja, das hatten wir auch, aber irgendwie komme ich auf
> solche Sachen immer nicht alleine!
das ist normal, dass man am anfang so seine probleme damit hat, wenn man aber etwas übung hat kommt man auch selber darauf.
> Also, vielen, vielen Dank für deine aufwendige Antwort und
> den netten Kontakt!
gern. viel erfolg noch mit deinen algebra bemühungen.
grüße
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:02 Di 05.04.2005 | | Autor: | Staatsi21 |
Hallo Andreas!
> > > in diesem fall ist es das von [mm]q[/mm] erzeugte hauptideal [mm](q)[/mm], da
> > > [mm]q[/mm] irreduzibel ist! insbesondere ist das ideal [mm](q)[/mm] prim und
> > > da [mm]q \not= 0[/mm] sowie [mm]\mathbb{Q}[x][/mm] hauptidealring auch
> > > maximal!
> >
> > Ja, das ist mir bekannt. Wäre aber nie auf die Idee
> > gekommen das hier zu benutzen! :-(
>
> ist dir klar, dass [mm]q[/mm] irreduzibel ist?
Ja, das ist mir klar! Das sollten wir in der Aufgabe davor beweisen. Hab´s mit Eisenstein-Kriterium gezeigt!
> > Ja, das hatten wir auch, aber irgendwie komme ich auf
> > solche Sachen immer nicht alleine!
>
> das ist normal, dass man am anfang so seine probleme damit
> hat, wenn man aber etwas übung hat kommt man auch selber
> darauf.
>
> > Also, vielen, vielen Dank für deine aufwendige Antwort und
> > den netten Kontakt!
>
> gern. viel erfolg noch mit deinen algebra bemühungen.
Danke, seitdem mir hier etwas geholfen wurde, hab ich auch schon viel mehr Spaß an der Algebra!
Gruß Jessi
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