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Einsetzen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:48 Mi 22.04.2015
Autor: Skyrula

Aufgabe
Ich habe eine Linearkombination aus 2 Vektoren gemacht, diese Kombination in eine Funktion eingefügt, Geschwindigkeit und Beschleunigung (1. und 2. Ableitung) berechnet und anschließend 2 Gleichungen raus bekommen. (Mache das alles zum ersten mal in diesem Sinne) Jetzt muss ich Variablen ersetzen durch gegebene constante und stehe dabei tatsächlich auf dem Schlauch weil mich [mm] \phi' [/mm] dabei verwirrt. Die Gleichungen:

[mm] \vec{v}(t)=p\phi'(t)\vec{e_{p}} [/mm] und [mm] \vec{a}(t)=\phi''(t)p\vec{e_{\phi}}+\phi'^2(t)p(-\vec{e_{p}}) [/mm]

jetzt habe ich für [mm] \phi=\omega\cdot [/mm] t, [mm] p=\vektor{1-sin(\omega t) \\ cos(\omega t)}, \vec{e_{\phi}}=\vektor{-sin(\phi)\\cos(\phi)} [/mm] und [mm] \vec{e_{p}}=\vektor{cos(\phi)\\sin(\phi)} [/mm]

Ich setzte alle bis auf [mm] \phi'(t) [/mm] und [mm] \phi''(t) [/mm] ein weil ich da nicht genau weiß wie das auszusehen hat und ich bitte euch mir da unter die Arme zu greifen und beim Zusammenfassen zu helfen. Vielen Dank:

[mm] \vec{v}(t)=\phi'(t)\vektor{1-sin(\omega t)\\cos(\omega t)}\vektor{-sin(\omega t)\\cos(\omega t)} [/mm]

[mm] \vec{a}(t)=\phi''(t)\vektor{1-sin(\omega t)\\cos(\omega t)}\vektor{-sin(\omega t)\\cos(\omega t)}+\phi'^2(t)\vektor{1-sin(\omega t)\\cos(\omega t)}\vektor{-cos(\omega t)\\-sin(\omega t)} [/mm]

        
Bezug
Einsetzen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:56 Mi 22.04.2015
Autor: chrisno

Das passt nicht zusammen. In den letzten Zeilen ist nicht klar, was mit den nebeneinander geschriebenen Vektoren passiert. Von der Schreibweise her sollte p kein Vektor sein. Ich schlage vor, Du beschreibst mit zwei Sätzen das Problem, das Du lösen willst und fügst noch Deinen Ansatz mit der Linearkombination hinzu. Dann schauen wir weiter.

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Bezug
Einsetzen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:38 Mi 22.04.2015
Autor: Skyrula

Aufgabe
Jetzt kommt die ganze Aufgabe zum Verständnis:

Betrachte einen Massenpunkt in der Ebene, dargestellt durch Polarkoordinaten x=p [mm] cos\phi [/mm] , y= p sin [mm] \phi [/mm] ( [mm] \vec{e_{p}} [/mm] und  [mm] \vec{e_{\phi}} [/mm] sind Einheitsvektoren)
1: Geben Sie die radialen und tangentialen Einheitsvektoren [mm] \vec{e_{p}} [/mm] und [mm] \vec{e_{\phi}} [/mm] an.

2: Betrachte die Bahn eines Punktes parametrisiert duch Funktionen p(t) und [mm] \phi(t). [/mm] Berechne Geschwindigkeit und Beschleunigung dieses Punktes als Linearkombination von [mm] \vec{e_{\phi}} [/mm] und [mm] \vec{e_{p}} [/mm]

3: Betrachte jetzt speziell [mm] \phi=\omega [/mm] t und [mm] p=\vektor{1-sin(\omega t)\\cos(\omega t)}. [/mm] Berechne Geschwindigkeit und Beschleunigung mit den Ergebnissen aus 2.

1:
[mm] \vec{e_{p}}=\frac{\partial}{\partial p}\vektor{p cos(\phi)\\p sin(\phi)}=\vektor{cos(\phi)\\sin(\phi)} [/mm]
[mm] \vec{e_{\phi}}=\frac{\partial}{\partial p}\vektor{p cos(\phi)\\p sin(\phi)}\frac{1}{p}=\vektor{-sin(\phi)\\cos(\phi)} [/mm]

2:
Linearkombination:
[mm] \vec{p}(t)=\vektor{x(t)\\y(t)}=\vektor{p cos(\phi(t))\\p sin(\phi(t))}=\vec{p}(t)\vec{e_{p}} [/mm]
Geschwindigkeit:
[mm] \vec{v}(t)=\frac{d}{dt}\vec{p}(t)=\phi'(t)*p\vektor{-sin(\phi(t))\\cos(\phi(t))}=p\phi'(t)\vec{e_{\phi}} [/mm]
Beschleunigung:
[mm] \vec{a}(t)=\frac{d}{dt}\vec{v}(t)=\phi''(t)*p\vektor{-sin(\phi(t))\\cos(\phi(t))}+\phi'^2(t)*p\vektor{-cos(\phi(t))\\-sin(\phi(t))}=\phi''(t)p\vec{e_{\phi}}+\phi'^2(t)p(-\vec{e_{p}} [/mm]

So, hab nun alles nochmals fein säuberlich niedergeschrieben, damit ihr mir besser helfen könnt. Mich würde es freuen, wenn mir jemand mal zeigen könnte wie man ordentlich einsetzt und zusammenfasst.

Vielen Dank

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Einsetzen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:59 Mi 22.04.2015
Autor: chrisno

Für eine Antwort reicht die Zeit nicht.

> Jetzt kommt die ganze Aufgabe zum Verständnis:
>  
>  .....
> 3: Betrachte jetzt speziell [mm]\phi=\omega[/mm] t und
> [mm]p=\vektor{1-sin(\omega t)\\cos(\omega t)}.[/mm] Berechne
> Geschwindigkeit und Beschleunigung mit den Ergebnissen aus

Dieses [mm] $\vec{p}$, [/mm] auch wenn es dort nicht als Vektor steht, soll als Linearkombination der Einheitsvektoren geschrieben werden.

> 2.
>  ...
> 2:
>  Linearkombination:
>  [mm]\vec{p}(t)=\vektor{x(t)\\y(t)}=\vektor{p cos(\phi(t))\\p sin(\phi(t))}=\vec{p}(t)\vec{e_{p}}[/mm]

hier darf das letzte p keinen Vektorpfeil mehr haben. Sonst sthet da ein Skalarprodukt und die ganze Zeile nicht sinnvoll.


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Einsetzen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:02 Mi 22.04.2015
Autor: Skyrula

Linearkombination etc wurde schon bestätigt das es richtig ist. Ich versuche mich mal anders auszudrücken:

Ich habe zwei Funktionen:
$ [mm] \vec{v}(t)=p\phi'(t)\vec{e_{p}} [/mm] $
$ [mm] \vec{a}(t)=\phi''(t)p\vec{e_{\phi}}+\phi'^2(t)p(-\vec{e_{p}}) [/mm] $

und da muss ich ganz Stumpf nur folgendes einsetzen:

$ [mm] \phi=\omega\cdot [/mm] t $
[mm] p=\vektor{1-sin(\omega t) \\ cos(\omega t)} [/mm]
[mm] \vec{e_{\phi}}=\vektor{-sin(\phi)\\cos(\phi)} [/mm]
$ [mm] \vec{e_{p}}=\vektor{cos(\phi)\\sin(\phi)} [/mm] $

Das habe ich so weit gemacht wie ich es konnte:

$ [mm] \vec{v}(t)=\phi'(t)\vektor{1-sin(\omega t)\\cos(\omega t)}\vektor{-sin(\omega t)\\cos(\omega t)} [/mm] $
$ [mm] \vec{a}(t)=\phi''(t)\vektor{1-sin(\omega t)\\cos(\omega t)}\vektor{-sin(\omega t)\\cos(\omega t)}+\phi'^2(t)\vektor{1-sin(\omega t)\\cos(\omega t)}\vektor{-cos(\omega t)\\-sin(\omega t)} [/mm] $


Wirklich nur einsetzen und soweit zusammenfassen wie nur möglich. Anschließend soll die Bahn skizziert werden aber das ist nebensächlich.

Was genau ist noch unverständlich jetzt?

Danke für die Hilfe ;-)


Bezug
                
Bezug
Einsetzen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:06 Mi 22.04.2015
Autor: fred97


> Linearkombination etc wurde schon bestätigt das es richtig
> ist. Ich versuche mich mal anders auszudrücken:
>  
> Ich habe zwei Funktionen:
>  [mm]\vec{v}(t)=p\phi'(t)\vec{e_{p}}[/mm]
>  
> [mm]\vec{a}(t)=\phi''(t)p\vec{e_{\phi}}+\phi'^2(t)p(-\vec{e_{p}})[/mm]
>  
> und da muss ich ganz Stumpf nur folgendes einsetzen:
>  
> [mm]\phi=\omega\cdot t[/mm]
>  [mm]p=\vektor{1-sin(\omega t) \\ cos(\omega t)}[/mm]
>  
> [mm]\vec{e_{\phi}}=\vektor{-sin(\phi)\\cos(\phi)}[/mm]
>  [mm]\vec{e_{p}}=\vektor{cos(\phi)\\sin(\phi)}[/mm]
>  
> Das habe ich so weit gemacht wie ich es konnte:
>  
> [mm]\vec{v}(t)=\phi'(t)\vektor{1-sin(\omega t)\\cos(\omega t)}\vektor{-sin(\omega t)\\cos(\omega t)}[/mm]

Das ergibt keinen Vektor ! Sondern [mm] $-\omega*sin(\omega [/mm] t)$  !!

FRED

>  
> [mm]\vec{a}(t)=\phi''(t)\vektor{1-sin(\omega t)\\cos(\omega t)}\vektor{-sin(\omega t)\\cos(\omega t)}+\phi'^2(t)\vektor{1-sin(\omega t)\\cos(\omega t)}\vektor{-cos(\omega t)\\-sin(\omega t)}[/mm]
>  
>
> Wirklich nur einsetzen und soweit zusammenfassen wie nur
> möglich. Anschließend soll die Bahn skizziert werden aber
> das ist nebensächlich.
>
> Was genau ist noch unverständlich jetzt?
>  
> Danke für die Hilfe ;-)
>  


Bezug
                
Bezug
Einsetzen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:32 Mi 22.04.2015
Autor: chrisno


> Linearkombination etc wurde schon bestätigt das es richtig
> ist. Ich versuche mich mal anders auszudrücken:
>  
> Ich habe zwei Funktionen:
>  [mm]\vec{v}(t)=p\phi'(t)\vec{e_{p}}[/mm]
>  
> [mm]\vec{a}(t)=\phi''(t)p\vec{e_{\phi}}+\phi'^2(t)p(-\vec{e_{p}})[/mm]

Da steht jeweils p und nicht [mm] $\vec{p}$. [/mm] Dann musst Du an der Stelle den Betrag von p berechnen.

>  
> und da muss ich ganz Stumpf nur folgendes einsetzen:
>  
> [mm]\phi=\omega\cdot t[/mm]
>  [mm]p=\vektor{1-sin(\omega t) \\ cos(\omega t)}[/mm]

Eben nicht. Entweder [mm]\vec{p}=\vektor{1-sin(\omega t) \\ cos(\omega t)}[/mm] oder [mm]p=\wurzel{(1-\sin(\omega t))^2 + \cos^2(\omega t)}[/mm]


Bezug
        
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Einsetzen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:03 Mi 22.04.2015
Autor: fred97

Wenn  $ [mm] \phi(t)=\omega\cdot [/mm]  t$ ist, dann ist doch

    [mm] \phi'(t)=\omega [/mm]  und   [mm] \phi''(t)=0 [/mm]   für jedes t.

FRED

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Einsetzen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:05 Mi 22.04.2015
Autor: Skyrula

So hatte ich mir das eingangs auch gedacht, war mir dann aber sehr unsicher geworden.

Wenn du das aber auch so machst stimmt es wahrscheinlich doch.

Danke dir

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