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Forum "Stochastik" - Einschluss/Ausschluss Formel
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Einschluss/Ausschluss Formel: Notation
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:20 Di 21.10.2014
Autor: YuSul

Aufgabe
Zeigen Sie, dass für [mm] $A_1, A_2, ...\in\mathcal{F}$ [/mm] gilt

[mm] $P(A_1\cup A_2\cup\dotso\cup A_n)=\sum_{k=1}^n (-1)^{k-1}\sum_{1\leq i_1<\dotso

Hi,

ich habe eine Frage zur Notation dieser Formel, bzw. diesem Teil:

[mm] $\sum_{1\leq i_1<\dotso
Ich weiß leider nicht so recht mit dieser Notation umzugehen.
Was bedeutet dieser Index der Summe?

[mm] $1\leq i_1<\dotso
Und was sind die Mengen [mm] $A_{i_1},..., A_{i_k}$. [/mm]

Der Beweis sollte dann mehr oder weniger schwierig mit Induktion zu erbringen sein. Es geht mir gerade nur um diese Notation. In der Vorlesung wurde das nicht geklärt, leider.

Danke.

        
Bezug
Einschluss/Ausschluss Formel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:50 Di 21.10.2014
Autor: Ladon

Hallo Yusul,

Bsp.: n=3
[mm] $$P(A_1\cup A_2\cup A_3)=P(A_1)+P(A_2)+P(A_3)-(P(A_1\cap A_2)+P(A_1\cap A_3)+P(A_2\cap A_3))+P(A_1\cap A_2\cap A_3)$$ [/mm]
Reicht das Beispiel?
Die [mm] i_1<...
LG
Ladon

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Bezug
Einschluss/Ausschluss Formel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:57 Di 21.10.2014
Autor: YuSul

Ah, ok. Ja ich glaube das hat es klar gemacht.

Vielen Dank.

Man geht also der Reihe nach durch und bildet so gesehen alle möglichen Kombinationen.

Bezug
                        
Bezug
Einschluss/Ausschluss Formel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:25 Mi 22.10.2014
Autor: Ladon


> Ah, ok. Ja ich glaube das hat es klar gemacht.
>  
> Vielen Dank.
>  
> Man geht also der Reihe nach durch und bildet so gesehen
> alle möglichen Kombinationen.

Genau. Das k gibt dir dabei die Anzahl der Elemente, die du quasi aus 1,...,n "Kugeln" ziehst.

LG
Ladon

Bezug
                                
Bezug
Einschluss/Ausschluss Formel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:34 Mi 22.10.2014
Autor: YuSul

Ich hätte noch eine Frage zum Induktionsschritt, also wenn ich:

[mm] $P(A_1\cup...\cup A_n\cup A_{n+1})=$P((A_1\cup...\cup A_n)\cup A_{n+1})$ [/mm]

Und nun die Induktionsvoraussetzung anwende, dann erhalte ich:

[mm] $\sum_{k=0}^n (-1)^k\sum_{1\leq i_1<...
Hier scheitere ich leider daran den Induktionsschritt zu beenden, da ich nicht begründen kann wieso dies nun das selbe wie:

[mm] $\sum_{k=0}^{n+1} (-1)^k\sum_{1\leq i_1<...
ist.

Ich wollte den hinteren Ausdruck auch mittels Summenzeichen notieren:

[mm] $P(A_{n+1}=\sum_{k=n}^{n+1} P(A_k)$ [/mm]

Wie kann ich den Teil darstellen, welcher subtrahiert wird?

Bezug
                                        
Bezug
Einschluss/Ausschluss Formel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:48 Do 23.10.2014
Autor: luis52


> Ich hätte noch eine Frage zum Induktionsschritt, also wenn
> ich:
>  
> [mm]$P(A_1\cup...\cup A_n\cup A_{n+1})=$P((A_1\cup...\cup A_n)\cup A_{n+1})$[/mm]
>  
> Und nun die Induktionsvoraussetzung anwende, dann erhalte
> ich:
>  
> [mm]\sum_{k=0}^n (-1)^k\sum_{1\leq i_1<...
>

[notok]

[mm] $\sum_{k=0}^n (-1)^k\sum_{1\leq i_1<...



Bezug
                                                
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Einschluss/Ausschluss Formel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:16 Do 23.10.2014
Autor: YuSul

Oh, wobei ich das auf meinem Zettel richtig stehen habe....

Bezug
                                                        
Bezug
Einschluss/Ausschluss Formel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:35 Do 23.10.2014
Autor: luis52


> Oh, wobei ich das auf meinem Zettel richtig stehen habe....

Prima. Uebrigens ist



$ [mm] P((A_1\cup\dots\cup A_n)\cap A_{n+1})= P((A_1\cap A_{n+1})\cup\dots\cup (A_n\cap A_{n+1}))$ [/mm] ...


Bezug
                                                                
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Einschluss/Ausschluss Formel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:53 Do 23.10.2014
Autor: YuSul

Kann ich dies so notieren:

[mm] $P((A_1\cap A_{n+1})\cup\dots\cup (A_n\cap A_{n+1}))=\sum_{1

Bezug
                                                                        
Bezug
Einschluss/Ausschluss Formel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:43 Sa 25.10.2014
Autor: tobit09

Hallo YuSul!


> Kann ich dies so notieren:
>  
> [mm]P((A_1\cap A_{n+1})\cup\dots\cup (A_n\cap A_{n+1}))=\sum_{1

Nein.

Was meinst du auf der rechten Seite mit $i$?

Die Laufindizes [mm] $i_1,\ldots,i_n$ [/mm] der Summe treten im Ausdruck hinter dem Summenzeichen gar nicht auf?!

Falls du

(Achtung, falsch! --->)      [mm] $P((A_1\cap A_{n+1})\cup\dots\cup (A_n\cap A_{n+1}))=\sum_{i=1}^nP(A_i\cap A_{n+1})$ [/mm]

meintest: Das gilt i.A. nur für [mm] $A_1\cap A_{n+1},\ldots,A_n\cap A_{n+1}$ [/mm] paarweise disjunkt, was nicht gelten muss.



Du hattest vermutlich:

[mm] $P(A_1\cup\ldots\cup A_n\cap A_{n+1})=P((A_1\cup\ldots\cup A_n)\cup A_{n+1})=P(A_1\cup\dotso\cup A_n)+P(A_{n+1})-P(\underbrace{(A_1\cup\dots\cup A_n)\cap A_{n+1}}_{=(A_1\cap A_{n+1})\cup\dots\cup( A_n\cap A_{n+1})})$ [/mm]

(unter Benutzung der Regel [mm] "$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap [/mm] B)$").

Mit [mm] $P(A_1\cup\dotso\cup A_n)$ [/mm] und [mm] $P((A_1\cap A_{n+1})\cup\dots\cup( A_n\cap A_{n+1}))$ [/mm] hast du nun zwei Wahrscheinlichkeiten von Vereinigungen von $n$ Ereignissen da stehen.
Wende auf Sie jeweils die Induktionsvoraussetzung an.


Viele Grüße
Tobias

Bezug
                                        
Bezug
Einschluss/Ausschluss Formel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:32 Do 23.10.2014
Autor: luis52


> Ich wollte den hinteren Ausdruck auch mittels Summenzeichen
> notieren:
>  
> [mm]P(A_{n+1}=\sum_{k=n}^{n+1} P(A_k)[/mm]


Mit Verlaub, hier steht ziemlicher Unfug: [mm] $P(A_{n+1}=P(A_n)+ P(A_{n+1})$. [/mm] Wo wird denn die linkste Klammer geschlossen?

Bezug
                                                
Bezug
Einschluss/Ausschluss Formel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:48 Do 23.10.2014
Autor: YuSul

Das war ein Tippfehler. Ich meinte

[mm] $A_{n+1}=\sum_{k=n}^{n+1} A_k$ [/mm]

Ich hätte gedacht, dass ich es so vielleicht in die andere Summe reinziehen kann um den Laufindex auf n+1 anstatt n zu erweitern.


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