Einheitskreis - Streckenlänge < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:40 Mo 10.01.2011 | | Autor: | svcds |
| Aufgabe | | Die Punkte A,B liegen auf dem Kreis [mm] \omega [/mm] mit dem Mittelpunkt O und dem Radius 1. Die Tangenten an dem Kreis mit Berührpunkten A, B schneiden sich in P. Angenommen es gilt AB = a. Wie lang ist PO? |
Hi, erstmal frohes neues Jahr und danke an alle helfenden Hände und Köpfe!
Also ich hab erstmal gezeigt, dass PA = PB gilt(Tangentensatz).
Dann
1. [mm] \Delta [/mm] POA [mm] \equiv \Delta [/mm] POB (nach SSS-Satz) gilt
2. [mm] \Delta [/mm] BOA ist gleichschenklig, also ist [mm] \measuredangle [/mm] OBA = [mm] \measuredangle [/mm] OAB = [mm] \alpha.
[/mm]
und nun weiß ich nicht mehr weiter... ich weiß nicht, was ich wie berechnen soll.
Also mit Pythagoras würde das ja einfach PO² = PA² + 1² sein und dann eben Wurzel ziehen. Aber ich denke, das geht anders :(.
GLG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:59 Mo 10.01.2011 | | Autor: | statler |
> Die Punkte A,B liegen auf dem Kreis [mm]\omega[/mm] mit dem
> Mittelpunkt O und dem Radius 1. Die Tangenten an dem Kreis
> mit Berührpunkten A, B schneiden sich in P. Angenommen es
> gilt AB = a. Wie lang ist PO?
Hallo!
Wenn du dir ein Bildchen malst und den Schnittp. von AB und PO Q nennst, dann sind AQO und PAO ähnlich. Das gibt eine Gl., in der AB, AP und PO vorkommen. AP kannst du noch eliminieren mit Satz von P., und dann hast du PO durch AB ausgedrückt, was wohl das Ziel der Aufg. ist.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:07 Mo 10.01.2011 | | Autor: | svcds |
ah okay das probier ich mal
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:54 Mo 10.01.2011 | | Autor: | svcds |
also ich hab dann raus
PA/AN = AO/NO = PO/AO
Dann erhalte ich
PA/AN = PO => PA/(1/2*AB) = PO => PA / (a/2) = PO
und dann?!
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Hallo, was ist denn plötzlich N?
du kennst:
[mm] \overline{OA}=\overline{OB}=1LE
[/mm]
[mm] \overline{QA}=\overline{QB}=\bruch{a}{2}
[/mm]
[Dateianhang nicht öffentlich]
[mm] \bruch{\overline{OA}}{\overline{OP}}=\bruch{\overline{QA}}{\overline{AP}}
[/mm]
[mm] \bruch{1LE}{\overline{OP}}=\bruch{\bruch{a}{2}}{\overline{AP}}
[/mm]
jetzt ist es doch fast geschafft, dein Problem ist noch [mm] \overline{AP}, [/mm] da hilft dir aber eine ganz bekannte Persönlichkeit
Steffi
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:41 Mo 10.01.2011 | | Autor: | svcds |
N ist bei mir das gleiche wie Q hier in deinem Beispiel
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Hallo, ok, ich habe die Beschriftung von statler übernomme, du solltest erklären, was N ist oder eine Skizze einstellen, Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:44 Mo 10.01.2011 | | Autor: | svcds |
N ist bei mir das gleiche wie Q hier in deinem Beispiel.
Ja, AP ist doch PO² - 1². Und ihr meint ,das reicht dann so?!
dann kommt da raus
PO = [mm] \bruch{2*\wurzel{PO²-1}}{a}[/mm]
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Hallo, du hast aber noch ein Problem, die gesuchte Strecke [mm] \overline{PO} [/mm] steht auch noch in der Wurzel, Ziel: [mm] \overline{PO}=.... [/mm] Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:08 Mo 10.01.2011 | | Autor: | svcds |
also ich hab raus PO = [mm] \wurzel{1-\bruch{4}{a²}}
[/mm]
richtig?
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Hallo, ich ahne Böses bei dir ist [mm] \bruch{9}{9+x^2}=\bruch{9}{9}+\bruch{9}{x^2}=1+\bruch{9}{x^2}
[/mm]
bereinige diesen Fehler
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:37 Mo 10.01.2011 | | Autor: | svcds |
oh das war dann flüchtigkeit :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:37 Di 11.01.2011 | | Autor: | statler |
Hallo!
> oh das war dann flüchtigkeit :)
In Mathe gibt es diese Entschuldigung nicht. Du hättest übrigens mal eine Probe mit a = 0 und a = 2 machen können.
Gruß
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:57 Di 11.01.2011 | | Autor: | svcds |
also ich hab jetzt raus
PO = [mm] \wurzel{\bruch{-4}{a²-4}}
[/mm]
das sieht aber komisch aus :(
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Hallo, ist aber ok, a=2 ist nicht möglich, die Tangenten wären parallel, es gibt keinen Schnittpunkt der beiden Tangenten, a geht gegen 2, somit steht im Nenner eine negative Zahl, im Zähler auch, du kannst noch -1 kürzen
[mm] \overline{OP}=\wurzel{\bruch{-4}{a^{2}-4}}=\wurzel{\bruch{(-1)*4}{(-1)*(4-a^{2})}}=\wurzel{\bruch{4}{4-a^{2}}}
[/mm]
Steffi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:56 Di 11.01.2011 | | Autor: | svcds |
juhu endlich danke scöhn :)
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