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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:41 Sa 28.10.2006 | | Autor: | sclossa |
| Aufgabe | Wir bestimmen die Einheitengruppen [mm] R^{x} [/mm] von R = [mm] \IZ [\wurzel[]{2}]. [/mm] Zeigen Sie dazu:
a) [mm] \pm [/mm] 1 [mm] \in R^{x}
[/mm]
b) [mm] \pm [/mm] (1 [mm] \pm \wurzel[]{2}) \in R^{x}
[/mm]
c) Ist a +b [mm] \wurzel[]{2} \in R^{x}, [/mm] dann gilt [mm] a^{2} [/mm] - [mm] 2b^{2} [/mm] = [mm] \pm [/mm] 1
d) Ist a + [mm] b\wurzel[]{2} \in R^{x}, [/mm] dann gibt es [mm] n_{1}, n_{2} \in \IZ_{\ge 0} [/mm]
mit a + [mm] b\wurzel[]{2} [/mm] = [mm] \pm [/mm] (1 + [mm] \wurzel[]{2})^{n_{1}}( [/mm] 1 - [mm] \wurzel[]{2})^{n_{2}}
[/mm]
Hinweis: Vollständige Induktion nach |a|.
e) Folgern Sie, dass [mm] R^{x} [/mm] = { [mm] \pm (1+\wurzel[]{2})^{n} [/mm] | n [mm] \in \IZ [/mm] }.
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Teil a) und b) sind kein Problem. Einfaches nachrechnen liefert ja die Behauptung.
Teil c) hab ich wie folgt bearbeitet:
Da [mm] a+b\wurzel[]{2} \in R^{x} [/mm] ist, exisiert ja [mm] (c+d\wurzel[]{2}) \in [/mm] R mit
[mm] (a+b\wurzel[]{2}) (c+d\wurzel[]{2}) [/mm] = 1
[mm] \gdw [/mm] ac + [mm] bc\wurzel[]{2} [/mm] + [mm] ad\wurzel[]{2} [/mm] + bd2 = 1
Jetzt lässt sich leicht folgern dass bc = -ad gelten muss.
Dann komm ich leider nicht weiter: wie kann ich jetzt zeigen, dass a = c und b = -d bzw. a = -c und b = d gelten muss?!
Dann erhalte ich nämlich:
(a + [mm] b\wurzel[]{2}) [/mm] (+- [mm] \wurzel[]{2} [/mm] -+ [mm] b\wurzel[]{2}) [/mm] = 1
[mm] \gdw \pm (a^{2} [/mm] - [mm] 2b^{2}) [/mm] = 1 => [mm] a^{2} [/mm] - [mm] 2b^{2} [/mm] = [mm] \pm [/mm] 1
und wäre fertig...
Im Teil d) hab ich aber so meine Probleme und der Hinweis hilft mir auch nicht wirklich weiter... hat hier vielleicht jemand eine Idee?
Lg Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:46 Mo 30.10.2006 | | Autor: | sclossa |
Teil a) und b) sind kein Problem. Einfaches nachrechnen liefert ja die Behauptung. Teil c) hab ich wie folgt bearbeitet:
Da [mm]a+b\wurzel[]{2} \in R^{x}[/mm] ist, exisiert ja [mm] (c+d\wurzel[]{2}) \in [/mm] R mit
[mm](a+b\wurzel[]{2}) (c+d\wurzel[]{2})[/mm] = 1
[mm]\gdw[/mm] ac + [mm]bc\wurzel[]{2}[/mm] + [mm]ad\wurzel[]{2}[/mm] + bd2 = 1
Jetzt lässt sich leicht folgern dass bc = -ad gelten muss.
Dann komm ich leider nicht weiter: wie kann ich jetzt
zeigen, dass a = c und b = -d bzw. a = -c und b = d gelten muss?!
Dann erhalte ich nämlich:
(a + [mm]b\wurzel[]{2})[/mm] (+- [mm]\wurzel[]{2}[/mm] -+ [mm]b\wurzel[]{2})[/mm] = 1
[mm]\gdw \pm (a^{2}[/mm] - [mm]2b^{2})[/mm] = 1 => [mm]a^{2}[/mm] - [mm]2b^{2}[/mm] = [mm]\pm[/mm] 1
und wäre fertig...
Im Teil d) hab ich aber auch so meine Probleme und der Hinweis hilft mir auch nicht wirklich weiter... hat hier vielleicht jemand eine Idee?
Lg Stefan
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Hallo Stefan,
> Teil c) hab ich wie folgt bearbeitet:
> Da [mm]a+b\wurzel[]{2} \in R^{x}[/mm] ist, exisiert ja
> [mm](c+d\wurzel[]{2}) \in[/mm] R mit
> [mm](a+b\wurzel[]{2}) (c+d\wurzel[]{2})[/mm] = 1
> [mm]\gdw[/mm] ac + [mm]bc\wurzel[]{2}[/mm] + [mm]ad\wurzel[]{2}[/mm] + bd2 = 1
>
Hmm, wir haben also das folgende Gleichungssystem:
[mm] $\pmatrix{a & 2b \\ b & a} \cdot \pmatrix{c \\ d} =\pmatrix{1 \\ 0}$.
[/mm]
Da die Diophantische Gleichung $ac +2bd$ lösbar ist, gilt [mm] $\operatorname{ggT}(a,2b) [/mm] | 1$, d.h. [mm] $\operatorname{ggT}(a,2b)=1 \gdw \operatorname{ggT}(a,b)=1 \wedge \operatorname{ggT}(a,2)=1$.
[/mm]
> Jetzt lässt sich leicht folgern dass bc = -ad gelten muss.
M.a.w.: $a | bc$, $b | ad$. Aber $a,b$ sind ja teilerfremd; was sagt uns dem?  . Andererseits teilt bc
a (wieder Teilerfremdheit von a,b beachten!).
Hth
zahlenspieler
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:41 Di 31.10.2006 | | Autor: | sclossa |
Da [mm]a+b\wurzel[]{2} \in R^{x}[/mm] ist, exisiert ja
[mm](c+d\wurzel[]{2}) \in[/mm] R mit
[mm](a+b\wurzel[]{2}) (c+d\wurzel[]{2})[/mm] = 1
[mm]\gdw[/mm] ac + [mm]bc\wurzel[]{2}[/mm] + [mm]ad\wurzel[]{2}[/mm] + bd2 = 1
> Hmm, wir haben also das folgende Gleichungssystem:
> [mm]\pmatrix{a & 2b \\ b & a} \cdot \pmatrix{c \\ d} =\pmatrix{1 \\ 0}[/mm].
??? Wie kommst du auf das Gleichungssystem und wie sieht es genau aus?
> Da die Diophantische Gleichung [mm]ac +2bd[/mm] lösbar ist, gilt
> [mm]\operatorname{ggT}(a,2b) | 1[/mm], d.h.
> [mm]\operatorname{ggT}(a,2b)=1 \gdw \operatorname{ggT}(a,b)=1 \wedge \operatorname{ggT}(a,2)=1[/mm].
>
Auch der Schritt ist mir nicht ganz klar. Du folgerst aus ab + 2bd = 1, dass
ggt(a,2b) = 1 [mm] \gdw [/mm] ggt(a,2) = 1 [mm] \wedge [/mm] ggt(a,b)=1?
> M.a.w.: [mm]a | bc[/mm], [mm]b | ad[/mm]. Aber [mm]a,b[/mm] sind ja
> teilerfremd; was sagt uns dem? .
> Andererseits teilt bc a (wieder Teilerfremdheit von a,b beachten!).
Irgendie komm ich bei dieser Erkärung nicht so ganz mit...
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Hallo,
Du schriebst:
> Da [mm]a+b\wurzel[]{2} \in R^{x}[/mm] ist, exisiert ja
> [mm](c+d\wurzel[]{2}) \in[/mm] R mit
> [mm](a+b\wurzel[]{2}) (c+d\wurzel[]{2})[/mm] = 1
> [mm]\gdw[/mm] ac + [mm]bc\wurzel[]{2}[/mm] + [mm]ad\wurzel[]{2}[/mm] + bd2 = 1
[mm] $\gdw [/mm] ac+2bd [mm] +(bc+ad)\wurzel[]{2} [/mm] =1 [mm] +0\wurzel[]{2}$.
[/mm]
Also sind $c,d [mm] \in \IZ$ [/mm] Lösungen der folgenden Gleichungen:
[mm] $\label{gl:1} [/mm] ac+2bd=1$, [mm] $\label{gl:2} [/mm] bc+ad=0$.
>
> > Da die Diophantische Gleichung [mm]ac +2bd[/mm] lösbar ist, gilt
> > [mm]\operatorname{ggT}(a,2b) | 1[/mm], d.h.
> > [mm]\operatorname{ggT}(a,2b)=1 \gdw \operatorname{ggT}(a,b)=1 \wedge \operatorname{ggT}(a,2)=1[/mm].
>
> > ?
> Auch der Schritt ist mir nicht ganz klar. Du folgerst aus
> ab + 2bd = 1, dass
> ggt(a,2b) = 1 [mm]\gdw[/mm] ggt(a,2) = 1 [mm]\wedge[/mm] ggt(a,b)=1?
Jo! Ist eine Anwendung von Proposition 1.2.3,d) auf ![[]](/images/popup.gif) dieser Seite.
>
> > M.a.w.: [mm]a | bc[/mm], [mm]b | ad[/mm]. Aber [mm]a,b[/mm] sind ja
> > teilerfremd; was sagt uns dem? .
> > Andererseits teilt bc a (wieder Teilerfremdheit von a,b
> beachten!).
>
> Irgendie komm ich bei dieser Erkärung nicht so ganz mit...
$a |bc$ ergibt sich durch Umstellen der Gleichung [mm] $\ref{gl:2}$ [/mm] und der Existenz von $d$. Nun wende Proposition 1.2.3(b) (s.o.) an. Damit ist $a$ Teiler von $c$.
Entschuldige, irgendwie war ich der Überzeugung, $bc$ wär' Teiler von $a$; vergiß es. Jetzt soll $a | c$ gezeigt werden:
Multipliziere Gl. [mm] $\ref{gl:1} [/mm] mit $c$ und ersetze $bc$ durch $-ad$:
[mm] $ac^2 -2ad^2=c$.
[/mm]
Was folgt nun aus $a |c$ *und* $c | a$ ($a,c [mm] \in \IZ$)?
[/mm]
Und Du bekommst was Du haben wolltest  .
Hth
zahlenspieler
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