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Forum "Algebra" - Einheitengruppe zeigen
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Einheitengruppe zeigen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:46 So 20.01.2013
Autor: theresetom

Aufgabe
Zeigen Sie dass [mm] \pm [/mm] (1+ [mm] \sqrt{2})^n \in \IZ[\sqrt{2}]^{\*} [/mm] für alle n [mm] \in \IZ [/mm]

hallo
[mm] \IZ[\sqrt{2}]= \{x + y \sqrt{2} | x,y \in \IZ \} [/mm]
[mm] \alpha \in \IZ[\sqrt{2}]^{\*} [/mm] <=> [mm] \exists \beta \in \IZ[\sqrt{2}] [/mm] : [mm] \alpha \beta=1 [/mm]

Sei N(a + b [mm] \sqrt{2}) [/mm] = [mm] a^2 [/mm] + [mm] 2b^2 [/mm] die Normfunktion.
[mm] N(\alpha \beta)= [/mm] 1
<=>
[mm] N(\alpha) [/mm] * [mm] N(\beta)=1 [/mm]
<=> [mm] N(\alpha)=N(\beta)=1 [/mm]

genügt zuzeigen [mm] N(\pm [/mm] (1+ [mm] \sqrt{2})^n) [/mm] = 1 [mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IZ [/mm]

was aber schon für n=1 nicht stimmt?

        
Bezug
Einheitengruppe zeigen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:51 So 20.01.2013
Autor: Teufel

Hi!

Nimm als Normfunktion mal [mm] N(a+b\sqrt{2})=|a^2-2b^2|. [/mm] Dann klappt es. Deine normfunktion ist eher für [mm] \IZ[i\sqrt{2}] [/mm] gedacht.

Aber du kannst es auch direkt zeigen, indem du einfach [mm] 1+\sqrt{2} [/mm] invertierst. Wenn z das Inverse dazu ist, dann ist [mm] z^n [/mm] das Inverse zu [mm] (1+\sqrt{2})^n. [/mm]

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Einheitengruppe zeigen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:30 So 20.01.2013
Autor: theresetom

Hallo
Nun [mm] N(\pm [/mm] (1+ [mm] \sqrt{2}))= [/mm] |1 - 2*1| =|-1|=1

[mm] N(\pm [/mm] ((1+ [mm] \sqrt{2})^n))= N(\pm [/mm] (1+ [mm] \sqrt{2}))^n [/mm] = [mm] 1^n [/mm] =1
wegen multiplikativität der Norm
Stimmt das denn?
LG

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Einheitengruppe zeigen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:38 So 20.01.2013
Autor: Teufel

Ja, zumindest wen ihr gezeigt habt, dass $N(x)=1 [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in \IZ[\sqrt{2}]^\*$ [/mm] gilt. Du hast nur die andere Richtung hier gezeigt!

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Einheitengruppe zeigen: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 19:45 So 20.01.2013
Autor: theresetom

Also für diese Norm haben wir es nicht gezeigt, nein.
>  $ N(x)=1 [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in \IZ[\sqrt{2}]^{\*} [/mm]

Sei N(x)=1 mit x= a+ [mm] \sqrt{2} [/mm] b
dann ist [mm] |a^2 [/mm] - 2 [mm] b^2| [/mm] =1
wie mache ich dass denn?

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Einheitengruppe zeigen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:50 So 20.01.2013
Autor: Teufel

Ich sehe, dass das hier leider auch gar nicht richtig ist, von daher mühe dich da nicht ab. :) z.B. ist [mm] (1+\sqrt{2})^2=3+2*\sqrt{2} [/mm] und das hat nicht Norm 1.

Daher empfehle ich, einfach [mm] 1+\sqrt{2} [/mm] von Hand zu invertieren. Mit meinem Kommentar ganz oben hast du dann die ganze Aufgabe gelöst.

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Einheitengruppe zeigen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:59 So 20.01.2013
Autor: theresetom

Ok_.:

(1+ [mm] \sqrt{2})^{-1}= \frac{1}{1+ \sqrt{2}}= [/mm] -1 - [mm] \sqrt{2} \in \IZ[\sqrt{2}] [/mm]

(-1- [mm] \sqrt{2})^{-1} [/mm] = [mm] \frac{1}{-1-\sqrt{2}}=1- \sqrt{2} [/mm]

Ich versteh aber nicht wie ich das mit  hoch n schaffe.Auch dein Kommentar ist mir dazu nicht ganz klar.

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Einheitengruppe zeigen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:05 So 20.01.2013
Autor: Teufel

Ok also das Invese von [mm] 1+\sqrt{2} [/mm] ist [mm] -1+\sqrt{2}. [/mm] Hast dich etwas verrechnet. Dann ist von [mm] (1+\sqrt{2})^2 [/mm] das Inverse aber einfach [mm] (-1+\sqrt{2})^2. [/mm] Und von [mm] (1+\sqrt{2})^3 [/mm] einfach [mm] (-1+\sqrt{2})^3 [/mm] usw.

Und das gleiche kannst du mit [mm] -(1+\sqrt{2}) [/mm] machen, wobei das Inverse dort einfach [mm] -(-1+\sqrt{2})=1-\sqrt{2} [/mm] ist.

Bezug
                                                                
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Einheitengruppe zeigen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:11 So 20.01.2013
Autor: theresetom

Hallo

ok klar.
Wieso ist [mm] (-1+\sqrt{2})^n \in \IZ[\sqrt{2}][/mm]

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Einheitengruppe zeigen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:14 So 20.01.2013
Autor: Teufel

Na es gilt für alle n.

Das Inverse von [mm] (1+\sqrt{2})^n [/mm] ist [mm] (-1+\sqrt{2})^n. [/mm]

Bezug
                                                                                
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Einheitengruppe zeigen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:54 So 20.01.2013
Autor: theresetom

Gut aber wie zeigst du dann das gilt:
(1 + [mm] \sqrt{2})^n [/mm] * (-1+ [mm] \sqrt{2})^n [/mm] =(-1+ [mm] \sqrt{2})^n [/mm] *(1 + [mm] \sqrt{2})^n=1 [/mm]
?

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Einheitengruppe zeigen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:56 So 20.01.2013
Autor: Teufel

Na du hast doch n-mal [mm] (1+\sqrt{2}) [/mm] und n-mal das Inverse davon, also [mm] (-1+\sqrt{2}). [/mm] Je 2 davon heben sich zu 1 auf.

Alternativ: Benutze [mm] a^n*b^n=(ab)^n. [/mm]

Bezug
                                                                                                
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Einheitengruppe zeigen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:01 So 20.01.2013
Autor: theresetom

Ich danke dir für die Aufklärung ;)
LG

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