Einheitengruppe < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:18 Do 05.08.2010 | | Autor: | duda |
| Aufgabe | 1. Bestimme die Einheitengruppe von [mm] \IQ [/mm] ([mm] \wurzel{-5} [/mm]).
2. Zeige, dass die Zahlen 4+[mm] \wurzel{-5} [/mm], 4-[mm] \wurzel{-5} [/mm], 3 und 7 paarweise nicht-assoziierte Primzahlen in [mm] \IQ [/mm] ([mm] \wurzel{-5} [/mm]) sind und folgere, dass in [mm] \IQ [/mm] ([mm] \wurzel{-5} [/mm]) nicht der Satz von der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung gilt! |
hallo allerseits,
auch hier bin ich regelrecht am verzweifeln... hab da zwar einen ansatz, aber irgendwie komme ich dennoch nicht weiter ;S
also:
1. hier habe ich folgendes aus dem script übernommen:
[mm] \mathcal{P_{\wurzel{D}}} [/mm] = { [mm] {a+b\wurzel{D} | a, b \in \IZ}, [/mm] D [mm] \equiv [/mm] 2, 3 mod 4} [mm] \gdw {\bruch{a}{2}+\bruch{b}{2}*\wurzel{D} | a, b \in \IZ, 2 / a-b}
[/mm]
des weiteren haben wir folgendes:
N [mm] (a+b\wurzel{-5}) [/mm] = [mm] a^{2} [/mm] + [mm] 5*b^{2}), [/mm] also: N [mm] (a+b\wurzel{-5} [/mm]
= 1 [mm] \gdw [/mm] b = 0 [mm] \wedge [/mm] a = [mm] \pm [/mm] 1, also : ([mm] \IQ [/mm] ([mm] \wurzel{-5} [/mm]))* = [mm] {\pm 1} [/mm] einheiten .
meine frage hier: ich verstehe leider nicht, wie man auf das rotmarkierte gekommen ist...
2. hier weiß ich nur, dass gilt: [mm] N(4+\wurzel{-5}) [/mm] = 21. das weiß ich allerdings nicht, was ich damit anfangen kann und was es mit der eindeutigkeit der pfz auf sich hat???
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Dreh- und Angelpunkt ist die Multiplikativität der Norm [mm]N[/mm]. Für alle [mm]\alpha, \beta \in K = \mathbb{Q} \left( \sqrt{-5} \right)[/mm] gilt:
[mm]N \left( \alpha \beta \right) = N \left( \alpha \right) \cdot N \left( \beta \right)[/mm]
1. Zu den Einheiten:
Wenn [mm]\varepsilon = a + b \sqrt{-5} \ \in \ R = \mathbb{Z} \left[ \sqrt{-5} \right][/mm] eine Einheit ist und [mm]\varepsilon' \in R[/mm] als Inverses besitzt, dann folgt aus
[mm]\varepsilon \varepsilon' = 1[/mm]
wegen [mm]N(1) = 1[/mm] und der Multiplikativität der Norm:
[mm]N \left( \varepsilon \right) \cdot N \left( \varepsilon' \right) = 1[/mm]
Jetzt bist du aber ganz in [mm]\mathbb{Z}[/mm], und ein Produkt mit Wert 1 ist nur möglich, wenn beide Faktoren 1 oder beide Faktoren -1 sind. Da [mm]N[/mm] keine negativen Werte annimmt, bleibt also nur übrig:
[mm]N \left( \varepsilon \right) = a^2 + 5b^2 = 1[/mm]
Sobald [mm]b^2>0[/mm] ist, ist die linke Seite schon [mm]\geq 5[/mm], also muß [mm]b^2 = 0[/mm], somit [mm]b=0[/mm] gelten, und man hat
[mm]N \left( \varepsilon \right) = a^2 = 1[/mm]
Und das heißt: [mm]a = \pm 1[/mm]. Somit sind 1,-1 die einzigen Einheiten von [mm]R[/mm].
2. Die vier zu untersuchenden Elemente von [mm]R[/mm] gehen durch Multiplikation mit [mm]\pm 1[/mm] (das sind die Einheiten) nicht auseinander hervor und sind somit nicht assoziiert.
Nimm nun an, [mm]\gamma = 4 + \sqrt{-5} \ \in \ R[/mm] sei zerlegbar, es gebe also [mm]\alpha, \beta \in R[/mm], keines eine Einheit, mit
[mm]\gamma = \alpha \beta[/mm]
Durch Übergang zur Norm bekommst du, wie ich es in 1. schon ausgeführt habe, eine Gleichung zwischen ganzen Zahlen. Welche ganzen Zahlen kommen für [mm]N \left( \alpha \right)[/mm] und [mm]N \left( \beta \right)[/mm] nur in Frage? Was folgt daraus weiter?
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