Einheiten in Ringen < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:03 Mi 18.02.2009 | | Autor: | Jorgi |
Hallo,
die Einheiten in einem Ring sind nach Definition diejenigen Elemente x, für die gilt: Es ex. ein [mm] $x^{-1}$ [/mm] aus dem Ring, so dass [mm] $x^{-1} \cdot [/mm] x = x [mm] \cdot x^{-1} [/mm] = 1$
Ein beweisbarer Satz ist dann der folgende:
Für ein Ringelement x seien die beiden folgenden Bedingungen gegeben
(1) x besitzt ein Linksinverses, d.h es ex. ein y aus dem Ring mit $y [mm] \cdot [/mm] x = 1$
(2) x besitzt ein Rechtsinverses, d.h. es ex. ein z aus dem Ring mit [mm] $x\cdot [/mm] z=1$
Dann folgt y = z, insbesondere ist x eine Einheit.
Nun war ich auf der Suche nach einem Ring, in dem ein Element liegt, welches ein Linksinverses, aber kein Rechtsinverses besitzt (oder umgekehrt)
Das naheliegende Beispieles des Ringes der quadratischen Matrizen liefert nicht das gewünschte, weil dort Elemente mit Linksinversen automatisch Rechtinverse besitzen...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:19 Mi 18.02.2009 | | Autor: | fred97 |
Sei (s) der Vektorraum aller reellen Zahlenfolgen und R die menge aller linearen Abbildungen
[mm] \Phi [/mm] : (s) ---> (s).
Dann ist R ein tadelloser Ring (mit Einselement $I = Id. $ auf (s)).
Definiere [mm] \Phi [/mm] und [mm] \Psi [/mm] aus R durch:
[mm] \Phi(x_1, x_2, x_3, [/mm] .....) = $(0, [mm] x_1, x_2, x_3, [/mm] .....)$
und
[mm] \Psi(x_1, x_2, x_3, [/mm] .....) = $( [mm] x_2, x_3, x_4, [/mm] .....) $
Dann gilt: $ [mm] \Psi \circ \Phi [/mm] = I$
aber weder [mm] \Psi [/mm] noch [mm] \Phi [/mm] sind in R invertierbar.
FRED
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