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Guten Abend ![[winken]](/images/smileys/winken.gif "[winken]") ,
Wir haben in der Schule begonnen, die Integrale einzuführen und brauche dabei Hilfe, weil mir noch so vieles unklar ist.
Beispielsweise folgende Formel (es wäre auch super nett, wenn mir jemand erklären könnte, wofür man die braucht):
[mm] \overline{S_{n}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{n^{3}}*\bruch{n*(n+1)*(2n+1)}{6}
[/mm]
=> ausgerechnet müsste das ja folgendes sein (wenn man die binomische Formel anwenden muss):
[mm] \overline{S_{n}} [/mm] = [mm] \bruch{2n^{3}+3n^{2}+n}{6n^{3}}
[/mm]
So, und dann haben wir gesagt, dass wir für n eine beliebige Zahl wohl einsetzen können und je größer n ist, desto kleiner werde die Zahl. Und das stimmt, habe das für n=4 [mm] (Ergebnis:\bruch{15}{32}) [/mm] und für n=2000 (Ergebnis:0,333583375).
Aber was sagt mir das alles? Also, mir ist schon klar, dass wir den Flächeninhalt von einer Obersumme ausrechnen wollen. Aber was ist n? Die Konstante, die man bei diesen Säulendiagrammen immer hat? Wäre doch logisch, oder?
Aber was ich absolu nicht verstehe ist, wie man auf die oben genannte Formel kommt, in die man n=Zahl setzen kann.
Und dann haben wir noch zu dieser Formel den Grenzwert gebildet:
A= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}
[/mm]
[mm] \bruch{2n^{3}+3n^{2}+n}{6n^{3}} [/mm] gekürzt=
[mm] \bruch{1}{3}+\bruch{1}{2n}+\bruch{1}{6n^{2}}
[/mm]
Und jetzt meine Frage:
Warum ergibt
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] ( [mm] \bruch{1}{3}+\bruch{1}{2n}+\bruch{1}{6n^{2}}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{3} [/mm] ?
Ich weiß, ist viel, aber vielleicht macht sie ja jemand die Mühe, mir das zu erklären!
Liebe Grüße,
Sarah 
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:51 Di 20.11.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Guten Abend ,
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> Wir haben in der Schule begonnen, die Integrale einzuführen
> und brauche dabei Hilfe, weil mir noch so vieles unklar
> ist.
>
> Beispielsweise folgende Formel (es wäre auch super nett,
> wenn mir jemand erklären könnte, wofür man die braucht):
>
>
> [mm]\overline{S_{n}}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{n^{3}}*\bruch{n*(n+1)*(2n+1)}{6}[/mm]
>
> => ausgerechnet müsste das ja folgendes sein (wenn man die
> binomische Formel anwenden muss):
>
> [mm]\overline{S_{n}}[/mm] = [mm]\bruch{2n^{3}+3n^{2}+n}{6n^{3}}[/mm]
Ja, das stimmt, auch wenn man hier nur ausmultipliziert und nicht die bin. Formeln nutzt.
>
>
> So, und dann haben wir gesagt, dass wir für n eine
> beliebige Zahl wohl einsetzen können und je größer n ist,
> desto kleiner werde die Zahl. Und das stimmt, habe das für
> n=4 [mm](Ergebnis:\bruch{15}{32})[/mm] und für n=2000
> (Ergebnis:0,333583375).
n ist die Anzahl der Rechtecke, die ich unter die zu untersuchende Funktion "einbaue". Und wenn sie gross wird, wird der Flächeninhalt immer genauer angenähert.
>
> Aber was sagt mir das alles? Also, mir ist schon klar, dass
> wir den Flächeninhalt von einer Obersumme ausrechnen
> wollen. Aber was ist n? Die Konstante, die man bei diesen
> Säulendiagrammen immer hat? Wäre doch logisch, oder?
>
Nicht ganz. n ist wie oben gesagt, die Anzahl der Rechtecke
> Aber was ich absolu nicht verstehe ist, wie man auf die
> oben genannte Formel kommt, in die man n=Zahl setzen kann.
>
Hmm, diese Formeln gibt es halt einfach. Es gibt sie für
[mm] 1+2+3+4+...+n=\bruch{n(n+1)}{2}
[/mm]
[mm] 1²+2²+3²+...+n²=\bruch{n(n+1)(2n+1)}{6}
[/mm]
Die beiden Beweise findest du ![[]](/images/popup.gif) hier
und
1³+2³+3³+4³+...+n³[mm] =\bruch{n²(n+1)²}{4}
[/mm]
>
> Und dann haben wir noch zu dieser Formel den Grenzwert
> gebildet:
>
> A= [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm]
>
> [mm]\bruch{2n^{3}+3n^{2}+n}{6n^{3}}[/mm] gekürzt=
>
> [mm]\bruch{1}{3}+\bruch{1}{2n}+\bruch{1}{6n^{2}}[/mm]
>
>
> Und jetzt meine Frage:
>
> Warum ergibt
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] (
> [mm]\bruch{1}{3}+\bruch{1}{2n}+\bruch{1}{6n^{2}})[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{3}[/mm] ?
>
Weil:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{1}{3}+\bruch{1}{2n}+\bruch{1}{6n^{2}})
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{3}+\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{2n}+\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{6n^{2}}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{3}+0+0=\bruch{1}{3}
[/mm]
>
>
> Ich weiß, ist viel, aber vielleicht macht sie ja jemand die
> Mühe, mir das zu erklären!
>
Aber immer doch 
>
> Liebe Grüße,
>
> Sarah
Wenn du Rückfragen hast, stelle sie
Marius
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Hallo Marius ,
> > Beispielsweise folgende Formel (es wäre auch super nett,
> > wenn mir jemand erklären könnte, wofür man die braucht):
> >
> >
> > [mm]\overline{S_{n}}[/mm] =
> > [mm]\bruch{1}{n^{3}}*\bruch{n*(n+1)*(2n+1)}{6}[/mm]
> >
> > => ausgerechnet müsste das ja folgendes sein (wenn man die
> > binomische Formel anwenden muss):
> >
> > [mm]\overline{S_{n}}[/mm] = [mm]\bruch{2n^{3}+3n^{2}+n}{6n^{3}}[/mm]
>
> Ja, das stimmt, auch wenn man hier nur ausmultipliziert und
> nicht die bin. Formeln nutzt.
Ja, stimmt natürlich! Bin heute Nachmittag die ganze Sache nochmal durch gegangen (bzw ich habe es versucht) und hatte das zuerst versucht mit der binomischen Formel und dann mit dem ausmultiplizieren - bin eben beim abtippen einfach verrutscht.
> n ist die Anzahl der Rechtecke, die ich unter die zu
> untersuchende Funktion "einbaue". Und wenn sie gross wird,
> wird der Flächeninhalt immer genauer angenähert.
Okay, das war mir nicht bewusst, dass n die Anzahl der Rechteckte darstellt und nicht der Konstanten.
> > Aber was ich absolu nicht verstehe ist, wie man auf die
> > oben genannte Formel kommt, in die man n=Zahl setzen kann.
> Hmm, diese Formeln gibt es halt einfach. Es gibt sie für
>
> [mm]1+2+3+4+...+n=\bruch{n(n+1)}{2}[/mm]
>
> [mm]1²+2²+3²+...+n²=\bruch{n(n+1)(2n+1)}{6}[/mm]
>
> Die beiden Beweise findest du
> hier
>
> und
>
> 1³+2³+3³+4³+...+n³[mm] =\bruch{n²(n+1)²}{4}[/mm]
Ich habe mir den ersten Beweis angesehen (der erste Link). Der Beweis ist mir völlig fremd und ich kann dem auch nicht so recht folgen. Diese "Pyramiden" finde ich sehr komisch, ich kann das gerade nicht nachvollziehen.
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{1}{3}+\bruch{1}{2n}+\bruch{1}{6n^{2}})[/mm]
>
> [mm]=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{3}+\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{2n}+\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{6n^{2}}[/mm]
> [mm]=\bruch{1}{3}+0+0=\bruch{1}{3}[/mm]
Also, die Grenzwertbildung ist bei mir schon zu lange her - ich stehe gerade auf dem bekannten Schlauch
Es ist ja [mm] +\infty, [/mm] dann heißt ich nehme mal die Zahl +2.
Wenn ich das dann für n einsetze, dann kommt doch bei dem 2. und 3. Grenzwert nicht Null raus. Obwohl, ich habe selber den Einwand, dass man für n beim Grenzwert nicht einfach Zahlen einsetzen darf... Wie bestimme ich nochmal den Grenzwert?
Und vielen Dank für deine Hilfe ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") !
Sarah
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:09 Di 20.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
erst noch mal zu den Formeln für die Summen: Drauf gekommen wär auch euer Lehrer nicht. Aber unsere Vorfahren ohne TR und Komputer haben halt lange rumgeknobelt, bis sie ne Formel aus den ersten paar Summen geraten hatten und dann haben sies bewiesen, dass sie stimmt.
Dass sie für n =1 und 2 stimmt ist ja einfach auszuprobieren.
Dann sagt manaha ich denk mal dass es bis zu irgendeinem n stimmt. wenn ich dann [mm] (n+1)^2 [/mm] dazuzähle und rauskrig, dass es dann die Formel mit (n+1) überall an der Stelle von n ist dann ist sie immer richtig. denn wenn sie dnn für 2 richtig ist, dann auch für 3, deshalb auch für 4 usw. usw. sowas nennt man dann vornehm "vollständige Induktion"
nun zum Grenzwert:
ganz oft läuft der darauf raus, dass man sagt: wenn n riesig groß wird, dann wird 1/n winzig klein. wenn ich n immer weiter vergrößere, dann wird der Unterschied von 1/n und 0 immer kleiner. und dann nennt man den Grenzwert 0
[mm] 1/n^2 [/mm] ist ja für große n noch viel kleiner also auch da: GW=0 so und 17*0=0 deshalb geht auch 17/n oder 6/n oder sogar 100000/n gegen 0 wenn ich nur n groß genug mache!
Gruss leduart
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