Einfache Integralberechnung < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:18 Di 02.06.2009 | | Autor: | kegel53 |
Hallo MatheRaum-Team,
ich steh grad auf der Leitung. Kann mir jemand kurz sagen wie ich das Integral [mm] \int cos^2(x) [/mm] dx berechne? Vielen Dank.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:22 Di 02.06.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Kegel!
Entweder wendest Du hier partielle Integration für [mm] $\cos^2(x) [/mm] \ = \ [mm] \cos(x)*\cos(x)$ [/mm] an.
Oder Du wendest folgendes Additionstheorem an:
[mm] $$\cos^2(x) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*\left[\cos(2x)+1\right]$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:38 Di 02.06.2009 | | Autor: | kegel53 |
Alles klar mit dem Additionstheorem funktioniert das wunderbar. Nur durch partielle Integration komm ich nicht weiter, da ich dann beim zweiten Mal partiell integrieren wieder denselben Ausdruck dastehn habe wie zuvor nämlich [mm] ...+\int cos^2(x). [/mm] Wär super wenn man mir noch den anderen Weg zum Berechnen des Integrals erklären könnte. Danke schon mal.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:18 Di 02.06.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Alles klar mit dem Additionstheorem funktioniert das
> wunderbar. Nur durch partielle Integration komm ich nicht
> weiter, da ich dann beim zweiten Mal partiell integrieren
> wieder denselben Ausdruck dastehn habe wie zuvor nämlich
> [mm]...+\int cos^2(x).[/mm] Wär super wenn man mir noch den anderen
> Weg zum Berechnen des Integrals erklären könnte. Danke
> schon mal.
[mm] $$\int \cos^2(x)\;dx=\int \underbrace{\cos(x)}_{=u(x)}*\underbrace{\cos(x)}_{=v'(x)}\;dx=[\cos(x)*\sin(x)]-\int \big(-\sin(x)\big)*\sin(x)\;dx=[\sin(x)*\cos(x)]+\int \sin^2(x)\;dx$$
[/mm]
[mm] $$\blue{\underset{\substack{\text{beachte: }\displaystyle \sin^2(x)=1-\cos^2(x) \text{ und }\\ \displaystyle \integral (1-\cos^2(x))\;dx=\displaystyle \int 1\;dx-\int \cos^2(x)\;dx}}{=}}\displaystyle [\sin(x)*\cos(x)]+\int 1\;dx -\int \cos^2(x)\;dx\,$$
[/mm]
[mm] $$\green{\underset{\text{bea.: }\displaystyle\int 1\;dx=x}{\Longrightarrow}}$$
[/mm]
[mm] $$\int \cos^2(x)\;dx=[\sin(x)*\cos(x)]+x-\int \cos^2(x)\;dx$$
[/mm]
[mm] $$\gdw$$
[/mm]
$$2 [mm] \int \cos^2(x)\;dx=\sin(x)*\cos(x)+x$$
[/mm]
[mm] $$\gdw$$
[/mm]
[mm] $$\int \cos^2(x)\;dx=\frac{1}{2}\big(\sin(x)*\cos(x)+x\big)\,.$$
[/mm]
Anders gesagt:
$$F: [mm] \IR \to \IR\;\; \text{ definiert durch }\;\;F(x):=\frac{1}{2}\big(\sin(x)*\cos(x)+x\big)\;\;\;\;(x \in \IR)$$
[/mm]
ist eine Stammfunktion (oder ein Repräsentant der Klasse der Stammfunktionen) von
$$f: [mm] \IR \to \IR\;\; \text{ definiert durch }\;\;f(x):=\cos^2(x)\;\;\;\;(x \in \IR)\,.$$
[/mm]
Wenn Du magst, kannst Du oben auch Konstanten (genauer: konstante Funktionen!) in der Rechnung ergänzen, um damit dann alle Stammfunktionen von [mm] $f\,$ [/mm] anzugeben.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:22 Di 02.06.2009 | | Autor: | kegel53 |
WOW, das nenn ich mal eine ausführliche Antwort  . Dank dir.
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