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| Aufgabe | [mm] x_1 [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 3}, x_2 [/mm] = [mm] \vektor{-1 \\ 1}, y_1= \vektor{1\\ 1\\3 }, y_2= \vektor{0 \\ 2\\1 }
[/mm]
Zeigen Sie, dass es genau eine lineare Abbildung f: [mm] \IR^2 \to \IR^3 [/mm] gibt mit [mm] f(x_1) [/mm] = [mm] y_1, f(x_2) [/mm] = [mm] y_2: [/mm] |
Hallo zusammen,
Ich habe LA Klausur. Ich komme mit einigen Aufgaben nicht klar und benötige Hilfe, deswegen habe ich mich in Eurem Forum angemeldet.
Ich bin Informatik Student im Grundstudium.
....
Für die Aufgabe:
Ich weiß nicht wie man eindeutigkeit beweisen kann. Können Sie vielleicht helfen.
Hier ist mein Vorschlag:
{ [mm] x_1, x_2 [/mm] } ist Basis.
Ich setze [mm] f(x_1) [/mm] = [mm] y_1 [/mm] und [mm] f(x_2) [/mm] = [mm] y_2 [/mm]
Wegen Linearität kann ich schreiben.
[mm] f(x_n) [/mm] = [mm] f(\lambda_1 x_1 [/mm] + [mm] \lambda_2 x_2) [/mm] = [mm] \lambda_1 f(x_1) [/mm] + [mm] \lambda_2 f(x_2)
[/mm]
Ich muss noch zeigen die [mm] \lambda [/mm] s eindeutig sind.
Danke im Voraus
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:43 So 16.08.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> [mm]x_1[/mm] = [mm]\vektor{2 \\ 3}, x_2[/mm] = [mm]\vektor{-1 \\ 1}, y_1= \vektor{1\\ 1\\3 }, y_2= \vektor{0 \\ 2\\1 }[/mm]
>
> Zeigen Sie, dass es genau eine lineare Abbildung f: [mm]\IR^2 \to \IR^3[/mm]
> gibt mit [mm]f(x_1)[/mm] = [mm]y_1, f(x_2)[/mm] = [mm]y_2:[/mm]
> Hallo zusammen,
>
> Ich habe LA Klausur. Ich komme mit einigen Aufgaben nicht
> klar und benötige Hilfe, deswegen habe ich mich in Eurem
> Forum angemeldet.
>
> Ich bin Informatik Student im Grundstudium.
> ....
>
> Für die Aufgabe:
> Ich weiß nicht wie man eindeutigkeit beweisen kann.
> Können Sie vielleicht helfen.
Am einfachsten ist es, wenn du zeigst, dass zwei lineare Abbildungen mit den gewünschten Eigenschaften identisch sind.
Also: du nimmst an, es gibt eine weitere lineare Abbildung g mit [mm]g(x_1) = y_1[/mm], [mm]g(x_2) = y_2[/mm] und weist nach, dass für alle x gilt: $f(x)=g(x)$.
>
> Hier ist mein Vorschlag:
>
> [mm]\{x_1, x_2\}[/mm] ist Basis.
>
> Ich setze [mm]f(x_1) = y_1[/mm] und [mm]f(x_2) = y_2[/mm]
>
> Wegen Linearität kann ich schreiben.
> [mm]f(x_n) = f(\lambda_1 x_1 + \lambda_2 x_2) = \lambda_1 f(x_1) + \lambda_2 f(x_2)[/mm]
>
> Ich muss noch zeigen die [mm]\lambda[/mm] s eindeutig sind.
Das ist eine Möglichkeit. Tipp: Die [mm] $\lambda_i$ [/mm] sind eindeutig, wenn [mm] $f(x_1)$ [/mm] und [mm] $f(x_2)$ [/mm] eine Basis des Bildes von f sind.
Viele Grüße
Rainer
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> Das ist eine Möglichkeit. Tipp: Die [mm]\lambda_i[/mm] sind
> eindeutig, wenn [mm]f(x_1)[/mm] und [mm]f(x_2)[/mm] eine Basis des Bildes von
> f sind.
Soll ich zeigen dass die Beide zusammen eine Basis des Bildes von f ist?
...
Ich versuche mal mit deinen weg.
Es existiert ein Funktion g(x)= y mit [mm] g(x_1) [/mm] = [mm] y_1 [/mm] und [mm] g(x_2) [/mm] = [mm] y_2
[/mm]
Wir können g(x) als lineare kombinationen von f(x) schreiben.
[mm] g(x_1) [/mm] = [mm] 1f(x_1) [/mm] + 0 [mm] f(x_2) [/mm] und [mm] g(x_2) [/mm] = [mm] 0f(x_1) [/mm] + 1 [mm] f(x_2) \Rightarrow f(x_1) [/mm] = [mm] g(x_1) [/mm] und [mm] f(x_2)= g(x_2)
[/mm]
Können wir jetzt sagen dass f(x) = g(x) ist???
Wenn ja warum?
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Hallo,
Um auf deinen bisherigen Weg fertig zu werden, musst du nur noch die Linearität der Abbildung ausnutzen:
> [mm]g(x_1)= 1*f(x_1) + 0 *f(x_2)[/mm] und [mm]g(x_2) = 0*f(x_1) + 1 f(x_2) \Rightarrow f(x_1) = g(x_1)[/mm] und [mm]f(x_2)= g(x_2)[/mm]
>
Dass kannst du sagen, weil [mm]g(x_1)= 1*f(x_1) + 0 *f(x_2)=f(1*x_1 + 0*x_2)=f(x_1) [/mm]
Aber bei solchen Aufgaben hab ich immer die darstellende Matrix bestimmt, und damit zeigst du ja, dass die dazugehörige Abbildung eindeutig bestimmt ist.
Das geht auf verschiedenen Wegen, ein (meiner Meinung nach) sehr schöner ist folgender:
Du weißt:
$F * [mm] \vektor{2 \\ 3} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 1\\ 3}$ [/mm] und
$F * [mm] \vektor{-1 \\ 1} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 2\\ 1}$
[/mm]
Anhand der Rechenregeln von Matrizen ist leicht nachvollziehbar, dass gelten muss:
$F * [mm] \pmat{ 2 & -1 \\ 3 & 1 } [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 1 & 2 \\ 3 & 1 }$
[/mm]
Jetzt die 2x2-Matrix invertieren und von rechts an die 3x2 Matrix dranmultiplizieren und schon bist du fertig!
lg Kai
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> Um auf deinen bisherigen Weg fertig zu werden, musst du nur
> noch die Linearität der Abbildung ausnutzen:
>
> > [mm]g(x_1)= 1*f(x_1) + 0 *f(x_2)[/mm] und [mm]g(x_2) = 0*f(x_1) + 1 f(x_2) \Rightarrow f(x_1) = g(x_1)[/mm]
> und [mm]f(x_2)= g(x_2)[/mm]
> >
>
> Dass kannst du sagen, weil [mm]g(x_1)= 1*f(x_1) + 0 *f(x_2)=f(1*x_1 + 0*x_2)=f(x_1)[/mm]
Warum kann ich sagen f(x) = g(x) ist. Habe ich leider nicht verstanden. Wozu hilft [mm] f(x_1)= 1*f(x_1) [/mm] + 0 [mm] *f(x_2)=f(1*x_1 [/mm] + [mm] 0*x_2)=f(x_1). [/mm]
Ich glaube diese zeile zeigt nur dass [mm] f(x_1)= g(x_1) [/mm] und [mm] f(x_2)= g(x_2)
[/mm]
> Aber bei solchen Aufgaben hab ich immer die darstellende
> Matrix bestimmt, und damit zeigst du ja, dass die
> dazugehörige Abbildung eindeutig bestimmt ist.
>
Ich mache auch wie du machst. Ich frage es nur um zu lernen.
Nirgendwo schreibe ich [/mm] oder ähnliches. Es kommt hochwahrscheinlich wenn man zitiert. Wenn ich zitiere sehe ich auch bei deine Lösungen.
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> > > [mm]g(x_1)= 1*f(x_1) + 0 *f(x_2)[/mm] und [mm]g(x_2) = 0*f(x_1) + 1 f(x_2) \Rightarrow f(x_1) = g(x_1)[/mm]
> > und [mm]f(x_2)= g(x_2)[/mm]
> > >
> >
> > Dass kannst du sagen, weil [mm]g(x_1)= 1*f(x_1) + 0 *f(x_2)=f(1*x_1 + 0*x_2)=f(x_1)[/mm]
>
> Warum kann ich sagen f(x) = g(x) ist. Habe ich leider
> nicht verstanden. Wozu hilft [mm]f(x_1)= 1*f(x_1)[/mm] + 0
> [mm]*f(x_2)=f(1*x_1[/mm] + [mm]0*x_2)=f(x_1).[/mm]
Hallo,
das hilft absolut gar nichts!
> Ich glaube diese zeile zeigt nur dass [mm]f(x_1)= g(x_1)[/mm] und
> [mm]f(x_2)= g(x_2)[/mm]
Eben. Und das ist nichts anderes als die Voraussetzung.
Aus dieser muß man etwas Schönes machen, wie, das habe ich Dir in meiner Antwort eben geschreiben.
Gruß v. Angela
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Achso... noch nebenbei:
Du musst nicht jedes Formelzeichen oder jedes $f(x)$ mit [ / m m ] behaften, nur den gesammten Aufdruck.
Klick einfach mal auf einen Ausdruck drauf, dann siehst du was ich meine.
lg Kai
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> > Das ist eine Möglichkeit. Tipp: Die [mm]\lambda_i[/mm] sind
> > eindeutig, wenn [mm]f(x_1)[/mm] und [mm]f(x_2)[/mm] eine Basis des Bildes von
> > f sind.
> Soll ich zeigen dass die Beide zusammen eine Basis des
> Bildes von f ist?
Hallo,
ja, in diesem speziellen Fall könntest Du das so machen, aber das klappt ja i.a. nicht, denn die Bilder können ja auch linear abhängig sein.
> ...
>
> Ich versuche mal mit deinen weg.
>
Angenommen:
> Es existiert ein Funktion g(x)= y mit [mm]g(x_1)[/mm] = [mm]y_1[/mm] und
> [mm]g(x_2)[/mm] = [mm]y_2[/mm].
Es ist [mm] (x_1, x_2) [/mm] eine Basis des [mm] \IR^2.
[/mm]
Also gibt es zu jeden [mm] x\in \IR^2 [/mm] passende [mm] r,s\in \IR [/mm] mit [mm] x=rx_1+sx_2.
[/mm]
Es ist f(x)= [mm] f(rx_1+sx_2)= [/mm] ... [mm] =g(rx_1+sx_2)=g(x).
[/mm]
[mm] rx_1+sx_2
[/mm]
Also gilt für jedes x: f(x)=g(x), dh. es ist f=g.
Gruß v. Angela
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Vielen vielen Dank Angela...
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> [mm]x_1[/mm] = [mm]\vektor{2 \\ 3}, x_2[/mm] = [mm]\vektor{-1 \\ 1}, y_1= \vektor{1\\ 1\\3 }, y_2= \vektor{0 \\ 2\\1 }[/mm]
>
> Zeigen Sie, dass es genau eine lineare Abbildung f: [mm]\IR^2 \to \IR^3[/mm]
> gibt mit [mm]f(x_1)[/mm] = [mm]y_1, f(x_2)[/mm] = [mm]y_2:[/mm]
Hallo,
im Grunde mußt Du für die Eindeutigkeit überhaupt nichts rechnen:
sicher kam auch in Deiner Vorlesung der Satz, daß jede lineare Abbildungen durch die Angabe ihrer Werte auf einer Basis eindeutig bestimmt ist.
Und [mm] (\vektor{2 \\ 3}, \vektor{-1 \\ 1}) [/mm] ist eine Basis des [mm] \IR^2.
[/mm]
Wenn du nun noch für die Existenz in irgendeiner Form aufschreibst, wie die lineare Abbildung f zu definieren ist, damit's paßt, bist Du fertig.
Gruß v. Angela
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