Eindeutigkeit ?! < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:08 Sa 05.04.2008 | | Autor: | straussy |
| Aufgabe | | Bestimmen sie die Teilbereiche der [mm](x,y)[/mm]-Ebene, in denen die Gleichung [mm]u_{xx}+2xu_{xy}+yu_{yy}+2u_y=0[/mm] elliptisch, parabolisch oder hyperbolisch ist. |
Hi,
ich bin der Meinung, dass die Aufgabe nicht eindeutig zu lösen ist. Eigentlich müsste doch [mm]\frac{\partial}{\partial x}(\frac{\partial}{\partial x}u)+\frac{\partial}{\partial y}(2x\frac{\partial}{\partial x}u+y\frac{\partial}{\partial y}u)+\frac{\partial}{\partial y}u=0[/mm] die Gleichung beschreiben und da [mm]\frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial}{\partial y}u=\frac{\partial}{\partial y}\frac{\partial}{\partial x}u[/mm] (oder nicht?) müsste die folgende Gleichung äquivalent sein: [mm]\frac{\partial}{\partial x}(\frac{\partial}{\partial x}u+x\frac{\partial}{\partial y}u)+\frac{\partial}{\partial y}(x\frac{\partial}{\partial x}u+y\frac{\partial}{\partial y}u)=0[/mm] .
In den beiden Fällen unterscheidet sich die Matix im linearen Operator, so dass ich auf völlig unterschiedliche Eigenwerte komme. Wo liegt mein Fehler.
vielen Dank im Voraus. Tobias
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Hallo straussy,
> Bestimmen sie die Teilbereiche der [mm][mm](x,y)[/mm]-Ebene,[/mm] in denen die Gleichung [mm]u_{xx}+2xu_{xy}+yu_{yy}+2u_y=0[/mm]elliptisch, parabolisch oder hyperbolisch ist.
> Hi,
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> ich bin der Meinung, dass die Aufgabe nicht eindeutig zu lösen ist. Eigentlich müsste doch [mm]\frac{\partial}{\partial x}(\frac{\partial}{\partial x}u)+\frac{\partial}{\partial y}(2x\frac{\partial}{\partial x}u+y\frac{\partial}{\partial y}u)+\frac{\partial}{\partial y}u=0[/mm] die Gleichung beschreiben und da [mm]\frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial}{\partial y}u=\frac{\partial}{\partial y}\frac{\partial}{\partial x}u[/mm] (oder nicht?) müsste die folgende Gleichung äquivalent sein: [mm]\frac{\partial}{\partial x}(\frac{\partial}{\partial x}u+x\frac{\partial}{\partial y}u)+\frac{\partial}{\partial y}(x\frac{\partial}{\partial x}u+y\frac{\partial}{\partial y}u)=0[/mm] .
>
> In den beiden Fällen unterscheidet sich die Matix im linearen Operator, so dass ich auf völlig unterschiedliche Eigenwerte komme. Wo liegt mein Fehler.
Zerlege die PDE so:
[mm]u_{xx}+2*x*u_{xy}+y*u_{yy}+2*u_{y}=\left(u_{xx}+x*u_{xy}+u_{y}\right)+\left(x*u_{xy}+y*u_{yy}+u_{y}\right)[/mm]
Nun gilt:
[mm]u_{xx}+\underbrace{x*u_{xy}+u_{y}}_{\bruch{\partial} {\partial x}x*u_{y}}=\bruch{\partial}{\partial x}u_{x}+\bruch{\partial} {\partial x}\left(x*u_{y}\right)=\bruch{\partial}{\partial x}\left(u_{x}+x*u_{y}\right)[/mm]
[mm]x*u_{xy}+\underbrace{y*u_{yy}+u_{y}}_{\bruch{\partial} {\partial y}y*u_{y}}=\bruch{\partial}{\partial y}\left(x*u_{x}\right)+\bruch{\partial} {\partial y}\left(y*u_{y}\right)=\bruch{\partial}{\partial y}\left(x*u_{x}+y*u_{y}\right)[/mm]
[mm]\Rightarrow u_{xx}+2*x*u_{xy}+y*u_{yy}+2*u_{y}=0 \gdw \bruch{\partial}{\partial x}\left(u_{x}+x*u_{y}\right)+\bruch{\partial}{\partial y}\left(x*u_{x}+y*u_{y}\right)=0[/mm]
>
> vielen Dank im Voraus. Tobias
Gruß
MathePower
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Hi,
danke erstmal für die Antwort. Die Gleichung die du hergeleitet hast, entspricht ja meiner zweiten Gleichung, oder nicht? Aber funktioniert nicht auch die erste Gl.?
Unser allgemeiner linerarer Operator hat die Form [mm]\mathcal L u=-\left(\sum_{i,j=1}^n \frac{\partial}{\partial x_i}a_{i,j}\frac{\partial}{\partial x_j}u\right)+\sum_{i=1}^n \frac{\partial}{\partial x_i}b_{i}u+c[/mm]. Durch den Vektor [mm]b[/mm] erreicht man doch eine Nichteindutigkeit, oder nicht?
viele Grüße, Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:20 Di 08.04.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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