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Eindeutigkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:50 Mi 22.04.2020
Autor: James90

Hallo!

Beweise für AWP's zweiter Ordnung die Existenz und Eindeutigkeit der Lösungen.

Hier komme ich leider gar nicht voran, ich würde das AWP zweiter Ordnung definieren als

$y''(t)=f(t,y(t),y'(t))$
[mm] y(t_0)=x_0 [/mm]
[mm] y'(t_0)=y_0 [/mm]

mit [mm] $f:\IR\times\IR^n\times \IR^n$, t_o\in\IR, x_0,y_0\in\IR^n. [/mm]

Könnt ihr mir hier bitte weiterhelfen? Ich gehe davon aus, dass ich hier irgendwie die Sätze von Peano und Picard-Lindelöf nutzen muss. Eventuell vorher das AWP in erste Ordnung bringen?

Viele Grüße!

        
Bezug
Eindeutigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:51 Mi 22.04.2020
Autor: fred97


> Hallo!
>  
> Beweise für AWP's zweiter Ordnung die Existenz und
> Eindeutigkeit der Lösungen.
>  
> Hier komme ich leider gar nicht voran, ich würde das AWP
> zweiter Ordnung definieren als
>  
> [mm]y''(t)=f(t,y(t),y'(t))[/mm]
>  [mm]y(t_0)=x_0[/mm]
>  [mm]y'(t_0)=y_0[/mm]
>  
> mit [mm]f:\IR\times\IR^n\times \IR^n[/mm], [mm]t_o\in\IR, x_0,y_0\in\IR^n.[/mm]
>  
> Könnt ihr mir hier bitte weiterhelfen? Ich gehe davon aus,
> dass ich hier irgendwie die Sätze von Peano und
> Picard-Lindelöf nutzen muss. Eventuell vorher das AWP in
> erste Ordnung bringen?

Ja, so ist es:

das obige AWP zweiter Ordnung lässt sich wie folgt auf ein System von zwei Differentialgleichungen erster Ordnung transformieren:

[mm] y_1'(t)=y_2(t) [/mm]
[mm] y_2'(t)=f(t,y_1(t), y_2(t)) [/mm]

mit der Anfangsbedingung [mm] (y_1(t),y_2(t))=(x_0,y_0). [/mm]


Jetzt kannst Du Peano und /oder Picard-Lindelöf auf dieses System erster Ordnung anwenden.

>  
> Viele Grüße!


Bezug
                
Bezug
Eindeutigkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:32 Mi 22.04.2020
Autor: James90


> > Hallo!
>  >  
> > Beweise für AWP's zweiter Ordnung die Existenz und
> > Eindeutigkeit der Lösungen.
>  >  
> > Hier komme ich leider gar nicht voran, ich würde das AWP
> > zweiter Ordnung definieren als
>  >  
> > [mm]y''(t)=f(t,y(t),y'(t))[/mm]
>  >  [mm]y(t_0)=x_0[/mm]
>  >  [mm]y'(t_0)=y_0[/mm]
>  >  
> > mit [mm]f:\IR\times\IR^n\times \IR^n[/mm], [mm]t_o\in\IR, x_0,y_0\in\IR^n.[/mm]
>  
> >  

> > Könnt ihr mir hier bitte weiterhelfen? Ich gehe davon aus,
> > dass ich hier irgendwie die Sätze von Peano und
> > Picard-Lindelöf nutzen muss. Eventuell vorher das AWP in
> > erste Ordnung bringen?
>  
> Ja, so ist es:
>  
> das obige AWP zweiter Ordnung lässt sich wie folgt auf ein
> System von zwei Differentialgleichungen erster Ordnung
> transformieren:
>  
> [mm]y_1'(t)=y_2(t)[/mm]
>  [mm]y_2'(t)=f(t,y_1(t), y_2(t))[/mm]
>  
> mit der Anfangsbedingung [mm](y_1(t),y_2(t))=(x_0,y_0).[/mm]
>  
>
> Jetzt kannst Du Peano und /oder Picard-Lindelöf auf dieses
> System erster Ordnung anwenden.
>  >  
> > Viele Grüße!
>  

Hallo fre97!

Super, das hatte ich bereits so auf meinem Blatt stehen :-)

Ich bin mir nun nicht sicher was ich hierbei eigentlich annehmen darf. Ich glaube bspw. nicht, dass ich annehmen kann, dass f linear ist. Kann ich denn annehmen, dass f stetig und insbesondere lipschitz stetig ist? Dann sind wir ja schon fertig, denn für Systeme 1. Ordnung stehen die Aussagen bereits in der VL.

Danke Dir und noch einen schönen Abend!

Bezug
                        
Bezug
Eindeutigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:19 Do 23.04.2020
Autor: fred97


> > > Hallo!
>  >  >  
> > > Beweise für AWP's zweiter Ordnung die Existenz und
> > > Eindeutigkeit der Lösungen.
>  >  >  
> > > Hier komme ich leider gar nicht voran, ich würde das AWP
> > > zweiter Ordnung definieren als
>  >  >  
> > > [mm]y''(t)=f(t,y(t),y'(t))[/mm]
>  >  >  [mm]y(t_0)=x_0[/mm]
>  >  >  [mm]y'(t_0)=y_0[/mm]
>  >  >  
> > > mit [mm]f:\IR\times\IR^n\times \IR^n[/mm], [mm]t_o\in\IR, x_0,y_0\in\IR^n.[/mm]
>  
> >  

> > >  

> > > Könnt ihr mir hier bitte weiterhelfen? Ich gehe davon aus,
> > > dass ich hier irgendwie die Sätze von Peano und
> > > Picard-Lindelöf nutzen muss. Eventuell vorher das AWP in
> > > erste Ordnung bringen?
>  >  
> > Ja, so ist es:
>  >  
> > das obige AWP zweiter Ordnung lässt sich wie folgt auf ein
> > System von zwei Differentialgleichungen erster Ordnung
> > transformieren:
>  >  
> > [mm]y_1'(t)=y_2(t)[/mm]
>  >  [mm]y_2'(t)=f(t,y_1(t), y_2(t))[/mm]
>  >  
> > mit der Anfangsbedingung [mm](y_1(t),y_2(t))=(x_0,y_0).[/mm]
>  >  
> >
> > Jetzt kannst Du Peano und /oder Picard-Lindelöf auf dieses
> > System erster Ordnung anwenden.
>  >  >  
> > > Viele Grüße!
> >  

> Hallo fre97!
>  
> Super, das hatte ich bereits so auf meinem Blatt stehen
> :-)
>  
> Ich bin mir nun nicht sicher was ich hierbei eigentlich
> annehmen darf.

Steht das nicht in Deinen Unterlagen ?

> Ich glaube bspw. nicht, dass ich annehmen
> kann, dass f linear ist.



> Kann ich denn annehmen, dass f
> stetig und insbesondere lipschitz stetig ist?

Für Picard-Lindelöf und /oder Peano solltest Du das.


> Dann sind wir
> ja schon fertig, denn für Systeme 1. Ordnung stehen die
> Aussagen bereits in der VL.
>  
> Danke Dir und noch einen schönen Abend!


Bezug
                                
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Eindeutigkeit: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 13:42 Sa 25.04.2020
Autor: James90

Hallo fred97!

> > Ich bin mir nun nicht sicher was ich hierbei eigentlich
> > annehmen darf.
>
> Steht das nicht in Deinen Unterlagen ?

Nein, leider nicht.

> > Ich glaube bspw. nicht, dass ich annehmen
> > kann, dass f linear ist.
>  
>
>
> > Kann ich denn annehmen, dass f
> > stetig und insbesondere lipschitz stetig ist?
>
> Für Picard-Lindelöf und /oder Peano solltest Du das.

Ich probiere nochmal mein Glück:

1. Formuliere AWP zweiter Ordnung:

$ y''(t)=f(t,y(t),y'(t)) $
$ [mm] y(t_0)=x_0 [/mm] $
$ [mm] y'(t_0)=y_0 [/mm] $

mit $ [mm] f:\IR\times\IR^n\times \IR^n [/mm] $, $ [mm] t_o\in\IR, x_0,y_0\in\IR^n. [/mm] $

Sei außerdem f stetig und f(t,x) lokal lipschitz in x. (*)
Ferner sei [mm] (t_0,u)\in\IR^{n+1} [/mm]

2. Transformiere das AWP in ein AWP erster Ordnung:

$ [mm] y_1'(t)=y_2(t) [/mm] $
$ [mm] y_2'(t)=f(t,y_1(t), y_2(t)) [/mm] $

mit der Anfangsbedingung $ [mm] (y_1(t),y_2(t))=(x_0,y_0). [/mm] $

Aufgrund der Voraussetzung (*) hat y (nach Picard-Lindelöf) eine eindeutige Lösung [mm] y(t,t_0,u), [/mm] die in [mm] (t_{-},t_{+}) [/mm] existiert.

War's das wirklich schon?

Viele Grüße!

Bezug
                                        
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Eindeutigkeit: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:20 Di 28.04.2020
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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