Eigenwerte von Matrixsummen < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:35 Do 21.10.2010 | | Autor: | MatMax |
Hallo liebe Forumsgemeinschaft!
Nachdem meine erste Frage in so einer hervorragenden Art und Weise beantwortet wurde, hat sie natuerlich weitere Fragen aufgeworfen.
Wenn ich eine Matrix habe, die sich aus einer Summe anderer Matrizen zusammensetzt, kann ich die Eigenwerte dieser Matrix dann als eine Funktion der Eigenwerte der aufsummierten Matrizen ausdruecken?
Genauer:
[mm] \vmat{ A+B+C-\lambda E }
[/mm]
kann ich dann [mm] \lambda [/mm] als eine Funktion irgendwelcher Informationen (Eigenwerte, Normen,...??) von A, B, C ausdruecken?
Allerbeste Gruesse,
Max
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:46 Do 20.02.2014 | | Autor: | fred97 |
Sind A und B komplexe quadratische Matrizen und gilt AB=BA, so gilt:
ist c ein Eigenwert von A+B, so gibt es einen Eigenwert a von A und einen Eigenwert b von B mit:
c=a+b.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:01 Do 21.10.2010 | | Autor: | wieschoo |
Sofern die Matrizen A,B,C simultan diagonalisierbar sind, so addieren sich auch die Eigenwerte auf.
[mm] $S^{-1}(A+B+C)S=D_1+D_2+D_3$
[/mm]
Wenn eine Basis existiert, zu der alle Jordannormalform haben, so addieren sich ebenfalls auch die Eigenwerte der Matrizen A,B,C auf.
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Sag mal, kennst du irgendein Buch, in dem diese Aussage gezeigt wird? Ich höre von der Eigenschaft zum ersten Mal und habe sie noch nirgends gefunden.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 Sa 22.02.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:16 Fr 22.10.2010 | | Autor: | fred97 |
Im allgemeinen ist so etwas nicht möglich, aber es gibt einige spezielle Situationen (vielleicht sind sie für Dich brauchbar):
Zunächst bezeichnen wir mit [mm] \sigma(A) [/mm] die Menge der Eigenwerte von $A [mm] \in \IC^{n \times n}$
[/mm]
1. Sind $A, B [mm] \in \IC^{n \times n}$ [/mm] und gilt $AB=BA$, so hat man
[mm] $\sigma(A+B) \subseteq \{a+b: a \in \sigma(A), b \in \sigma(B) \}$
[/mm]
und
[mm] $\sigma(A*B) \subseteq \{a*b: a \in \sigma(A), b \in \sigma(B) \}$
[/mm]
2. Ist $f(z)= [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_nz^n$ [/mm] eine Potenzreihe mit Konvergenzradius r>0, und gilt
$|a| < r$ für jedes $a [mm] \in \sigma(A)$
[/mm]
so ist
$f(A):= [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_nA^n \in \IC^{n \times n}$
[/mm]
und es gilt der Spektralabbildungssatz:
[mm] $\sigma(f(A))= f(\sigma(A))$.
[/mm]
FRED
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