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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:49 Di 30.01.2007 | | Autor: | ditoX |
| Aufgabe | Gegeben ist die symmetrische Matrix:
A= [mm] \pmat{ 1 & 2 & 1\\ 2 & 0 & 2\\ 1 & 2 & 1}
[/mm]
Berechnen Sie die Eigenwerte von A. Geben Sie eine Orthonormalbasis (ONB) aus Eigenvektoren an und diagonalisieren Sie A. |
Für die Eigenwerte habe ich [mm] \lambda_1 [/mm] = 0, [mm] \lambda_2 [/mm] = -2 und [mm] \lambda_3 [/mm] = 4 raus.
Wenn ich jetzt zu den Eigenwerten die Eigenräume bestimme, komme ich für
[mm] \lambda_1 [/mm] = 0 auf den Eigenraum [mm] v=t*\vektor{-1 \\ 0 \\1}
[/mm]
Soweit so gut.
Für die Eigenwerte [mm] \lambda_2 [/mm] = -2 und [mm] \lambda_3 [/mm] = 4 bekommt man aber keine Eigenräume, sondern den Nullvektor.
Ist es jetzt zunächst richtig daraus zu schließen, dass [mm] \lambda_2 [/mm] = -2 und [mm] \lambda_3 [/mm] = 4 keine Eigenwerte sind?
Wie komm ich jetzt weiter auf meine ONB aus Eigenvektoren?
Ist die Diagonalmatrix D von A trotzdem
D = [mm] \pmat{ 0 & 0 & 0\\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 4 } [/mm] ?
Vermutlich nicht, oder??
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:22 Di 30.01.2007 | | Autor: | befbef |
Hallo ditoX!
Du hast dich einfach nur verrechnet. Es gibt natürlich Eigenräume zu deinen Eigenwerten.
Viele Grüße!
Stephan
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> Gegeben ist die symmetrische Matrix:
> A= [mm]\pmat{ 1 & 2 & 1\\ 2 & 0 & 2\\ 1 & 2 & 1}[/mm]
> Berechnen Sie
> die Eigenwerte von A. Geben Sie eine Orthonormalbasis (ONB)
> aus Eigenvektoren an und diagonalisieren Sie A.
> Für die Eigenwerte habe ich [mm]\lambda_1[/mm] = 0, [mm]\lambda_2[/mm] = -2
> und [mm]\lambda_3[/mm] = 4 raus.
>
> Wenn ich jetzt zu den Eigenwerten die Eigenräume bestimme,
> komme ich für
> [mm]\lambda_1[/mm] = 0 auf den Eigenraum [mm]v=t*\vektor{-1 \\ 0 \\1}[/mm]
>
> Soweit so gut.
> Für die Eigenwerte [mm]\lambda_2[/mm] = -2 und [mm]\lambda_3[/mm] = 4
> bekommt man aber keine Eigenräume, sondern den Nullvektor.
>
Hallo,
ich nehme an, daß Du Dich verrechnet hast.
Wenn ich -2 einsetze, bekomme ich keine invertierbare Matrix.
Vielleicht rechnest Du einfach nochmal.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:39 Di 30.01.2007 | | Autor: | ditoX |
hmm, also ich habe die Ergebnisse für die Eigenwerte bereits mehrfach nachgerechnet und komme immer wieder auf die oben angegebenen Ergebnisse! (D.h. bin mir also zu 99% sicher, das das stimmt, lasse mich aber gern eines besseren belehren, falls ich denn wirklich falsch gerechnet habe..)
Zur Kontrolle hier mal mein berechnetes charakteristisches Polynom:
p= - [mm] \lambda^3 [/mm] +2 [mm] \lambda^2 [/mm] + 8 [mm] \lambda
[/mm]
Von welchem die Nullstellen nun mal 0, -2 und 4 sind.
Wär nett, wenn das jemand bestätigen könnte und dann erneut oben gestellte Fragen beantworten könnte! Danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:20 Di 30.01.2007 | | Autor: | ullim |
Hi,
also erstmal sind die Eigenwerte richtig, nämlich 0, -2 und 4.
Die Diagonalmatrix lautet also
[mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 4 }
[/mm]
und zu jedem Eigenwert existiert auch ein Eigenvektor, da musst Du dich verrechnet haben.
mfg ullim
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:45 Di 30.01.2007 | | Autor: | ditoX |
Stimmt!
Vielen Dank!
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