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| Aufgabe | a) hat F den Eigenwert -2, so ist [mm] F^2+2F [/mm] nicht bijektiv.
b) hat [mm] F^2+F [/mm] den Eigenwert -1, so hat [mm] F^3 [/mm] den Eigenwert 1. |
Ich bin gerade am Lernen für die Klausur und da ist mir diese Aufgabe zugefallen.
Ich weiß aber nicht wie ich a) und b) zeigen kann.
Wie man Eigenwerte berechnet ist mir klar: charaktereistisches Polynom bilden und daruas die Eigenwerte ermitteln [mm] (\lambda [/mm] oder x, wie es halt genannt wird.)
In dem Fall muss ja F eine Matrix sein. Aber wie nun weiter, das weiß ich nicht.
Könnt ihr mir Tipps geben?
ich weiß auch nicht genau wie ich hier bijektivität nachweisen oder widerlegen kann.
Wäre nett wenn ihr mir die Aufgabe erklären könnt bzw Tipps zum Verständnis gebt.
MfG
Mathegirl
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:40 Mo 12.03.2012 | | Autor: | fred97 |
> a) hat F den Eigenwert -2, so ist [mm]F^2+2F[/mm] nicht bijektiv.
> b) hat [mm]F^2+F[/mm] den Eigenwert -1, so hat [mm]F^3[/mm] den Eigenwert
> 1.
> Ich bin gerade am Lernen für die Klausur und da ist mir
> diese Aufgabe zugefallen.
>
> Ich weiß aber nicht wie ich a) und b) zeigen kann.
Zu a)
Es gibt eine x [mm] \ne [/mm] 0 mit Fx=-2x, also ist F^2x=4x (warum ?)
Nun zeige, dass [mm] (F^2+2F)x=0 [/mm] ist, F ist also nicht injektiv.
Zu b)
Es gibt ein x [mm] \ne [/mm] 0 mit: $( [mm] F^2+F)x=-x [/mm] $, also $F^2x=-Fx-x.$
Berechne damit $F^3x$
FRED
>
> Wie man Eigenwerte berechnet ist mir klar:
> charaktereistisches Polynom bilden und daruas die
> Eigenwerte ermitteln [mm](\lambda[/mm] oder x, wie es halt genannt
> wird.)
>
> In dem Fall muss ja F eine Matrix sein. Aber wie nun
> weiter, das weiß ich nicht.
>
> Könnt ihr mir Tipps geben?
> ich weiß auch nicht genau wie ich hier bijektivität
> nachweisen oder widerlegen kann.
>
>
> Wäre nett wenn ihr mir die Aufgabe erklären könnt bzw
> Tipps zum Verständnis gebt.
>
> MfG
> Mathegirl
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Wie komme ich darauf? Das verstehe ich nicht.
a)
Fx=-2x
[mm] F^{2}x=4x [/mm] (da [mm] (-2)^2=4
[/mm]
Nun muss ich zeigen
[mm] F^{2}x+2Fx=0
[/mm]
Da [mm] F^{2}=4x [/mm] und Fx=-4x muss gelten:
4x-4x=0 damit ist gezeigt, dass F nicht injektiv ist. Gilt Injektivität nicht, so ist auch Bijektivität ausgeschlossen.
(alelrdings hab ich nicht verstanden wieso man auf diese weise Injektivität widerlegt bzw wie Injektivität hier gezeigt wird.)
b)
[mm] F^{2}x+Fx=-x
[/mm]
[mm] F^{2}x=-Fx-x
[/mm]
[mm] Fx=-F^{2}x-x
[/mm]
also ist [mm] F^{3}x= [/mm] F{2}x*Fx ?
also [mm] (-Fx-x)*(-F^{2}x-x)=1 [/mm]
Aber da bekomme ich nicht 1 raus! Wo liegt mein Fehler?
MfG
Mathegirl
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:05 Mo 12.03.2012 | | Autor: | fred97 |
> Wie komme ich darauf? Das verstehe ich nicht.
>
> a)
> Fx=-2x
> [mm]F^{2}x=4x[/mm] (da [mm](-2)^2=4[/mm]
>
> Nun muss ich zeigen
> [mm]F^{2}x+2Fx=0[/mm]
>
> Da [mm]F^{2}=4x[/mm] und Fx=-4x muss gelten:
Nein, es ist Fx=-2x, also 2Fx=-4x
>
> 4x-4x=0 damit ist gezeigt, dass F nicht injektiv ist. Gilt
> Injektivität nicht, so ist auch Bijektivität
> ausgeschlossen.
>
> (alelrdings hab ich nicht verstanden wieso man auf diese
> weise Injektivität widerlegt bzw wie Injektivität hier
> gezeigt wird.)
Es ist doch x [mm] \ne [/mm] 0, aber
[mm] (F^2+2F)x=0=(F^2+2F)0.
[/mm]
Kann nun [mm] F^2+2F [/mm] injektiv sein ?
>
> b)
> [mm]F^{2}x+Fx=-x[/mm]
> [mm]F^{2}x=-Fx-x[/mm]
> [mm]Fx=-F^{2}x-x[/mm]
>
> also ist [mm]F^{3}x=[/mm] F{2}x*Fx ?
Das ist ja grausam !! Es ist $F^3x=F(F^2x)$
> also [mm](-Fx-x)*(-F^{2}x-x)=1[/mm]
Das ist ja noch grausamer !! Was multiplizierst Du das ? F ist eine lineare Abbildung, dann bedeuten [mm] F^2, F^3,.... [/mm] Hintereinanderausführungen (Verkettungen)
>
> Aber da bekomme ich nicht 1 raus!
Es wird immer grausamer !!
Ich bekomme auch nicht 1 heraus. Zeigen sollst Du, dass 1 ein Eigenwert von [mm] F^3 [/mm] ist. Zeige also mit obigem x:
$F^3x=x$
FRED
> Wo liegt mein Fehler?
>
> MfG
> Mathegirl
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okay, bei a) das war ein Schreibfehler, da hab ich die 2 vor 2Fx=-4x vergessen. das mit der Injektivität ist mir nun klar. Wie würde ich hier Surjektivität zeigen? (nur aus Interesse, also wie setzt man da x?)
b)
Da steige ich gerade nicht durch. Erkläre mir das bitte nochmal.
[mm] F^{2}x+Fx=-x
[/mm]
[mm] F^{3}x=x
[/mm]
Vielleicht denke ich auch gerade einfach nur zu kompliziert..
MfG
Mathegirl
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:50 Mo 12.03.2012 | | Autor: | fred97 |
> okay, bei a) das war ein Schreibfehler, da hab ich die 2
> vor 2Fx=-4x vergessen. das mit der Injektivität ist mir
> nun klar. Wie würde ich hier Surjektivität zeigen? (nur
> aus Interesse, also wie setzt man da x?)
Es gilt: ist V ein endlichdimensionaler Vektorraum und f:V [mm] \to [/mm] V linear, so sind die folgenden Aussagen äquivalent:
1. f ist injektiv.
2. f ist surjektiv
3. f ist bijektiv.
Und jetzt erzähl mir nicht, dass Du das noch nie gesehen hast ! Alles folgt aus der Dimensionsformel
dim V = dim Kern(f)+ dim Bild (f).
>
> b)
> Da steige ich gerade nicht durch. Erkläre mir das bitte
> nochmal.
> [mm]F^{2}x+Fx=-x[/mm]
> [mm]F^{3}x=x[/mm]
$ [mm] F^{2}x+Fx=-x \Rightarrow [/mm] F^2x= -Fx-x [mm] \Rightarrow [/mm] F^3x= F(F^2x)= F(-Fx-x)=-F^2x-Fx=-( -Fx-x)-Fx=x$
>
> Vielleicht denke ich auch gerade einfach nur zu
> kompliziert..
...... natürlich, wie immer...
FRED
>
>
> MfG
> Mathegirl
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:32 Mo 12.03.2012 | | Autor: | Mathegirl |
Danke fürs erklären Fred!
Ich hatte es nicht verstanden wie man das zeigt aber jetzt ist es mir klar! Vielen Dank!
MfG
Mathegirl
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