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Eigenwerte orthogonale Gruppe: Idee, Korrektur
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 14:52 Sa 12.05.2012
Autor: Orchis

Aufgabe
Zeige, dass eine Matrix A aus der orthogonalen Gruppe O(n) mit det (A) = -1 bei ungerader algebraischer Vielfachheit den Eigenwert (-1) hat.

Hallo zusammen,
ich versuche gerade obige Aufgabe zu lösen und habe mich quasi von unten und oben der Lösung angenähert :D
Ich habe mir mal folgendes überlegt:
Allgemeiner Ansatz für Eigenwerte: det(E-A) = 0,
d.h. zu zeigen: det((-1)*E-A)=0
Also: det(-E-A) =
...
det(E+A)
=(-1=^n * det(-E-A) = -det(-E-A) , da n ungerade
Dann gilt also:
det(-E-A)=-det(-E-A)
[mm] \gdw [/mm] det(-E-A) = 0
[mm] \Rightarrow [/mm] (-1) ist Eigenwert von A

Das sträuben sich beim ein oder anderen bestimmt die Nackenhaare, weil ich mich sowohl von "oben", als auch von "unten" dem Problem annähere, aber wenn ich jetzt noch zeigen könnte, dass det(E+A) = det(-E-A) gilt, könnte ich da einen gültigen Beweis zusammenbasteln  (glaub ich jedenfalls :D). Leider fehlt mir da noch die rettende Idee...irgendwie könnte man sicher noch det(A) = -1 einbauen ...

Danke schon mal für eine(n) hilfreiche(n) Ratschlag/Idee/Korrektur!

Viele Grüße
Orchis

        
Bezug
Eigenwerte orthogonale Gruppe: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:05 Sa 12.05.2012
Autor: Orchis

Ok, ich hab mal ein wenig weiter experimentiert und den Nachweis
glaube ich noch erbracht:

det(-E-A)= [mm] det(-AA^T [/mm] - A)
              = det(A) * [mm] det(-A^T-E) [/mm]
              = - [mm] det(-A^T-E) [/mm]
              = -det(A-E)  (, wobei ich mir nicht mehr sicher bin, ob man in der  
                  Differenz der Determinante [mm] A^T [/mm] durch A ersetzen darf ...)
              = [mm] (-1)^n [/mm] * (-det(A-E)), n ungerade
              = det(A+E)
Damit wäre der Beweis ja eigentlich vollständig, aber es wirkt für mich etwas umständlich ... ist der Beweis so richtig und gibt es noch eine elegantere Methode, falls ja ?

Vielen Dank schon mal! :)

Bezug
                
Bezug
Eigenwerte orthogonale Gruppe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:34 So 13.05.2012
Autor: angela.h.b.


> Ok, ich hab mal ein wenig weiter experimentiert und den
> Nachweis
> glaube ich noch erbracht:

Hallo,

achte bitte darauf, daß Du im richtigen Forum postest - im Oberstufenforum LA ist der Beitrag falsch plaziert. Das ist erstens unordentlich, zweitens aber mußt Du auch damit rechnen, daß nicht die richtigen Leute Deinen Beitraglesen. Ich verschiebe ihn ins Hochschulforum.

Du möchtest zeigen, daß -1 ein EW von A ist, daß also det(-E-A)=0.

>  
> det(-E-A)= [mm]det(-AA^T[/mm] - A)
>                = det(A) * [mm]det(-A^T-E)[/mm]
>                = - [mm]det(-A^T-E)[/mm]

Bis hierher konnte ich gut folgen.

> [mm] \red{=} [/mm] -det(A-E)  (, wobei ich mir nicht mehr
> sicher bin, ob man in der  
> Differenz der Determinante [mm]A^T[/mm] durch A ersetzen darf ...)

Klar, es ist doch [mm] A=A^{T}. [/mm]
Allerdings will sich mir nicht erschließen, weshalb Du [mm] \red{-}A^{T} [/mm] durch A ersetzt.
Das scheint mir falsch zu sein.

Ich schaue trotzdem mal weiter

> = [mm](-1)^n[/mm] * (-det(A-E)), n ungerade

??? Wer sagt, daß n ungerade ist? Ich kann das der Aufgabenstellung nicht entnehmen.
Ach Du grüne Neune! Kann es sein, daß Du etwas verwechselst? Die alg. Vielfachheit von -1 ist die Potenz des Linearfaktors [mm] (\lambda-(-1)) [/mm] im charakteristischen Polynom!

>                = det(A+E)

Hm. Mal angenommen, alles wäre richtig.

Du hättest dann gezeigt, daß det(-E-A)=det(E+A).
Einen Zusammenhang zum Eigenwert -1 kann ich hier nicht herstellen...

Kehren wir nochmal zum Anfang zurück.
Du möchtest zeigen, daß det(-E-A)=0.

Du hattest oben gezeigt:
[mm] det(-E-A)=-det(-A^{T}-E) [/mm]
mit [mm] A^{T}=A [/mm] hast Du
...=-det(-A-E)=-det(-E-A).

Jetzt noch eine kleine Idee, und Du hast det(-E-A)=0 und damit den Eigenwert.

Danach kann das Nachdenken über die Vielfachheit des Eigenwertes folgen.

LG Angela


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Bezug
Eigenwerte orthogonale Gruppe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:46 So 13.05.2012
Autor: Orchis

Vielen Dank für deine Mühen!
Du hattest Recht, ich dachte die algebraische Vielfachheit wäre eine Regel für das Herausmultiplizieren von Faktoren aus der Determinante, also z.B. det(-A) = [mm] (-1)^n*det(A)...also [/mm] diese algebraische Vielfachheit ist lediglich die Anzahl, wie oft der  Eigenwert in einem Linearfaktor im charakteristischen Polynom auftritt.

Der Schritt von -det(-A-E)=det(-E-A) erschließt sich mir irgendwie nicht bzw. ich habe im Script dafür keine Regel gefunden (oder hast du das Minus-Zeichen vergessen?)

Mit -det(-E-A) würde dann ja folgen:

det(-E-A)=-det(-E-A)
[mm] \gdw2det(-E-A)=0 [/mm]
[mm] \gdwdet(-E-A)=0 [/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] (-1) ist Eigenwert von A

Wobei dann aber der Zusammenhang mit der algebraischen Vielfachheit fehlt...

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Eigenwerte orthogonale Gruppe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:16 So 13.05.2012
Autor: angela.h.b.


> Der Schritt von -det(-A-E)=det(-E-A) erschließt sich mir
> irgendwie nicht bzw. ich habe im Script dafür keine Regel
> gefunden (oder hast du das Minus-Zeichen vergessen?)

Hallo,

ich Volltrottel! Ja, das Minuszeichen fehlte...

>
> Mit -det(-E-A) würde dann ja folgen:
>  
> det(-E-A)=-det(-E-A)
>  [mm]\gdw2det(-E-A)=0[/mm]
>  [mm]\gdwdet(-E-A)=0[/mm]
>  [mm]\Rightarrow[/mm] (-1) ist Eigenwert von A

Ja, so war das geplant.

>  
> Wobei dann aber der Zusammenhang mit der algebraischen
> Vielfachheit fehlt...

Dann stell ihn her - mit einer neuen Überlegung.
Was hat die Determinante der Matrix mit den Eigenwerten zu tun?

LG Angela








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Eigenwerte orthogonale Gruppe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:55 So 13.05.2012
Autor: Orchis

Hurra, dann gehts voran. :D

Ok, über die Determinante von A kann ich dessen Eigenwerte bestimmen.

det(tE-A)=0, bzw. dann muss sich det(tE-A) über die Linearfaktoren der Eigenwerte darstellen lassen: [mm] det(tE-A)=(t+1)^k*(...)*(...) [/mm] = 0
Nun wissen wir allerdings nichts über die anderen Eigenwerte von A.
Aber nun weiß ich ja absolut nichts über die anderen Eigenwerte, sodass dieser Weg glaub ich schon mal flachfällt.

Oder Überlegung 2:
Wir müssen über die algebraische Vielfachheit sicherstellen, dass det(A)=-1

Das ist mal wieder so eine von den Aufgaben, nach der man sich wieder schämt nicht alleine drauf gekommen zu sein. :D


Bezug
                                
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Eigenwerte orthogonale Gruppe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:36 So 13.05.2012
Autor: angela.h.b.


> Oder Überlegung 2:
>  Wir müssen über die algebraische Vielfachheit
> sicherstellen, dass det(A)=-1

Hallo,

A ist eine orthogonale Matrix, und ich denke, daß dran war, daß sie diagonalisierbar ist.

Weiter solltest Du etwas über die Beträge ihrer Eigenwerte wissen oder raufinden können.

Die Eigenwerte können positiv, negativ oder echt komplex sein...

LG Angela

LG Angela



Bezug
                                        
Bezug
Eigenwerte orthogonale Gruppe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:48 So 13.05.2012
Autor: Orchis

Ok, dann hab ich es glaub ich.
Weil A diagonalisierbar ist, kann det(A) als Produkt "seiner" Eigenwektoren geschrieben werden. Des Weiteren ist bekannt, dass der Betrag von Eigenwerten orthogonaler Matrizen 1 ist.
Beweis: [mm] x\not=0 [/mm] Eigenvektor zu Eigenwert [mm] \lambda [/mm]
[mm] |\lambda|*||x||=||Ax||=\wurzel{}=\wurzel{x^T*A^T*Ax}=\wurzel{x^T*x} [/mm] = [mm] ||x||\Rightarrow |\lambda| [/mm] = 1.
Der Eigenwert (-1) kann also nur in ungerader Form vorliegen, da sonst det(A) [mm] \not= [/mm] -1 wäre.
Vielen Dank noch mal, ich hoffe mal, dass das es das jetzt war.


Bezug
                                                
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Eigenwerte orthogonale Gruppe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:24 So 13.05.2012
Autor: angela.h.b.


> Ok, dann hab ich es glaub ich.
>  Weil A diagonalisierbar ist, kann det(A) als Produkt
> "seiner" Eigenwektoren geschrieben werden.

Hallo,

ja, das ist entscheidend.

>  Des Weiteren ist
> bekannt, dass der Betrag von Eigenwerten orthogonaler
> Matrizen 1 ist.

Richtig. Der Betrag.

>  Beweis: [mm]x\not=0[/mm] Eigenvektor zu Eigenwert [mm]\lambda[/mm]
>  
> [mm]|\lambda|*||x||=||Ax||=\wurzel{}=\wurzel{x^T*A^T*Ax}=\wurzel{x^T*x}[/mm]
> = [mm]||x||\Rightarrow |\lambda|=[/mm] 1.

Ja.

>  Der Eigenwert (-1) kann also nur in ungerader Form

Viefachheit

> vorliegen, da sonst det(A) [mm]\not=[/mm] -1 wäre.

Das Argument an sich ist richtig, aber ich glaube, Du hast eines nicht bedacht:
Die Matrix könnte ja komplexe Eigenwerte haben...

LG Angela



Bezug
                                                        
Bezug
Eigenwerte orthogonale Gruppe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:21 Sa 02.06.2012
Autor: Orchis

Hallo,
entschuldige bitte, dass ich erst jetzt auf deinen Beitrag antworte, aber ich habe es völlig vergessen. Mittlerweile haben wir die Aufgabe besprochen und sie ist mir auch klar geworden!
Danke für deine Geduld!!!

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