Eigenwerte linearerAbbildungen < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:48 Sa 24.04.2010 | | Autor: | haploid |
| Aufgabe | Welche der folgenden linearen Abbildungen von [mm] \mathbb R^{\text{2}} \mapsto \mathbb R^{\text{2}} [/mm] haben keine reellen Eigenwerte?
Drehung um 90° im Uhrzeigersinn
Spiegelung an der vertikalen Achse
Drehung um 45° gegen den Uhrzeigersinn
Spiegelung an der horizontalen Achse
Drehung um 180° im Uhrzeigersinn |
Hallo,
wie kann ich mir das überlegen?
Liebe Grüße und ein schönes Wochenende!
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Hallo
> Welche der folgenden linearen Abbildungen von [mm]\mathbb R^{\text{2}} \mapsto \mathbb R^{\text{2}}[/mm]
> haben keine reellen Eigenwerte?
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> Drehung um 90° im Uhrzeigersinn
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> Spiegelung an der vertikalen Achse
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> Drehung um 45° gegen den Uhrzeigersinn
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> Spiegelung an der horizontalen Achse
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> Drehung um 180° im Uhrzeigersinn
> Hallo,
> wie kann ich mir das überlegen?
Jede dieser linearen Abbildung hat eine darstellende Matrix (überlege dir, wie sie aussehen, oder schaue das nach bei Wiki oder so..)
Das charakteristische Polynom zu berechnen ist dann sehr einfach, was jeweils zu einer quadratischen Gleichung führt, um die Eigenwerte bestimmen zu können... ohne die Nullstellen berechnen zu müssen wirdst du erkennen, welche Gleichungen über [mm] \IR [/mm] eine Lösung haben und welche nicht.
> Liebe Grüße und ein schönes Wochenende!
Danke, gleichfalls :)
Grüsse, Amaro
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:55 Sa 24.04.2010 | | Autor: | haploid |
Hallo, danke für deine Antwort.
Habe ich das dann jetzt richtig gemacht?:
Drehung um 45° gegen den Uhrzeigersinn:
Allgemeine Drehmatrix (gegen den Uhrzeigersinn):
[mm] \pmat{ cos(\alpha) & sin(\alpha) \\ -sin(\alpha) & cos(\alpha) } [/mm]
hier:
[mm] \pmat{\bruch{1}{2} \wurzel{2} & \bruch{1}{2} \wurzel{2} \\ - \bruch{1}{2} \wurzel{2} & \bruch{1}{2} \wurzel{2}}
\vmat{(\bruch{1}{2} \wurzel{2}-\lambda) & \bruch{1}{2} \wurzel{2} \\ - \bruch{1}{2} \wurzel{2} & (\bruch{1}{2} \wurzel{2}-\lambda)}=\lambda^2-\wurzel{2}\lambda+1[/mm]
Diese Gleichung hat keine reellen Lösungen, also hat die Abbildung auch keine reellen Eigenwerte.
(Hmm, wenn ich [mm]\bruch{1}{2} \wurzel{2}[/mm] ausgeklammert hätte, wärs wohl einfacher gewesen ;))
Grüße...
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Hallo!
> Hallo, danke für deine Antwort.
> Habe ich das dann jetzt richtig gemacht?:
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> Drehung um 45° gegen den Uhrzeigersinn:
>
> Allgemeine Drehmatrix (gegen den Uhrzeigersinn):
> [mm]\pmat{ cos(\alpha) & sin(\alpha) \\ -sin(\alpha) & cos(\alpha) }[/mm]
>
> hier:
> [mm]\pmat{\bruch{1}{2} \wurzel{2} & \bruch{1}{2} \wurzel{2} \\ - \bruch{1}{2} \wurzel{2} & \bruch{1}{2} \wurzel{2}}
\vmat{(\bruch{1}{2} \wurzel{2}-\lambda) & \bruch{1}{2} \wurzel{2} \\ - \bruch{1}{2} \wurzel{2} & (\bruch{1}{2} \wurzel{2}-\lambda)}=\lambda^2-\wurzel{2}\lambda+1[/mm]
>
> Diese Gleichung hat keine reellen Lösungen, also hat die
> Abbildung auch keine reellen Eigenwerte.
Genau so hab ichs gemeint :)
>
> (Hmm, wenn ich [mm]\bruch{1}{2} \wurzel{2}[/mm] ausgeklammert
> hätte, wärs wohl einfacher gewesen ;))
Kannste laut sagen :D
>
> Grüße...
Grüsse, Amaro
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