Eigenwerte der Jacobi Modellma < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Die Modellmatrix A=[mm][/mm] [mm]\pmat{ 2 & -1 & 0 & \cdots \\
-1 & 2 & -1 \\
& \ddots & \ddots & \ddots \\
& & -1 & 2} \in \IR^{m x m}
[/mm] hat die Eigenwerte [mm]\lambda_j = 2 -2 cos(j h \pi)[/mm] mit [mm]j=1, \ldots m[/mm] und ist konsistent geordnet.
a.) Geben Sie die Eigenwerte [mm]\mu_j [/mm] der Iterationsmatrix J des Jacobi-Verfahrens an.
b.) Verifizeren Sie, dass [mm]\mu_j [/mm] Eigenwerte von J zu den Eigenvektoren [mm]v_j [/mm] sind, wobei die Einträge von [mm]v_j [/mm] gegeben sind mit:
[mm](v_j)_k = (sin(j k h \pi ) )_{k=1,\ldots ,m}[/mm] . |
Hallo zusammen,
ich versuche mich gerade daran, erstmal Teil a.) zu lösen, also die Eigenwerte der Matrix [mm]J=-D^{-1}(L+R)[/mm] aus dem Jacobi Verfahren auszurechnen.
Erstmal habe ich versucht, es über die Formel
[mm]det (J- \lambda E)= 0[/mm] zu berechnen. Für m=2 oder m=3 kein Problem, aber ab m=4 klappt das nicht mehr so.
(Für m=2 erhält man als EW: [mm]\lambda_{1,2} = \pm 0.5[/mm] und für m=3 [mm]\lambda_{1} = 0[/mm] und [mm]\lambda_{2,3} = \pm \wurzel{\bruch{1}{2}}[/mm] ).
Tja für allgemeine m hab ich keine Ahnung wie ich das zeigen soll.
Ich habe jetzt auch nirgendes die konsistente Ordnung der Matrix A ausgenutzt, denn dort sind ja die EW bekannt?! Kann man das irgendwie ausnutzen?
Eine Matrix A heißt konsitent geordnet, wenn für A=L+D+R, wenn die EW der Matrizen [mm]J(\alpha) = -D^{-1} {\alpha L + \alpha^{-1} R }, \alpha \in \IC[/mm] unabhängig vom Parameter [mm]\alpha[/mm] sind, also stets gleich denen der Jacobi-Matrix J=J(1) sind.
Hat jemand einen Tipp für mich, wie man die EW der Matrix J berechnen könnte? ?
Danke im Voraus und viele Grüße.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:20 Do 03.05.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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