Eigenwerte bei Basiswechsel < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 11:12 Mi 14.01.2009 | | Autor: | Zerwas |
| Aufgabe | | Kann eine Matrix einer sesqui-Bilinearform - als Abbildungsmatrix eines Endomorphismus interpretiert - unterschiedliche Eigenwerte bei Basiswechsel annehmen? |
Die Matrix einer sBF [mm] \Phi [/mm] bekommen ich duch [mm] (\Phi(x_i,x_j))_{i,j} [/mm] welche dann aber ja eigentlich darstellend zu einer Abbildung [mm] \Phi: V\times V\to\IK [/mm] ist.
Betrachte ich einen "normalen" Basiswechsel bei Endomorphismen habe ich einen Endmorphismus [mm] f:V\to [/mm] V und Basen X,Y von V dann gilt:
[mm] A_{f,Y,Y}=(A_{id,Y,X})^{-1}*A_{f,X,X}*A_{id,Y,X}
[/mm]
Dieser Basiswechsel ist Eigenwert erhaltend.
Bei einer sBF [mm] \Phi:V\times V\to\IK [/mm] habe ich Basen X und Y von V und führe meinen Basiswechsel durch wie folgt:
[mm] A_{\Phi,Y}=A^t_{id,Y,X}*A_{\Phi,X}*\overline{A}_{id,X,Y}
[/mm]
Diese Art von Basiswechsel ist nicht Eigenwert erhaltend, denn es gilt:
Für eines Skalarprodukt [mm] \Phi [/mm] existiert eine Matrix [mm] S\in Gl(n,\IK), [/mm] so dass [mm] S^t*A_{\Phi,X}*\overline{S}=E [/mm] (Einheitsmatrix)
Wobei E dann die Darstellungsmatrix bezüglich einer Orthonormalbasis ist.
Die EW von E sind 1 unabhängig davon welche EW [mm] A_{\Phi,X} [/mm] besitzt.
Ist diese Überlegung soweit richtig?
Gruß Zerwas
Ich habe diese Frage auf keinem anderen Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:20 Fr 16.01.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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