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| Aufgabe | Sei T eine selbstadjungierte lineare Abbildung und $ [mm] \lambda_1 \le \lambda_2 \le [/mm] ... [mm] \le \lambda_n [/mm] $ die Eigenwerte. Zeigen Sie, dass für jeden Vektor v mit [mm] \|v\| [/mm] = 1 gilt
[mm] §\lambda_1 \le \langle [/mm] v,Tv [mm] \rangle \le \lambda_n§ [/mm] |
Hallo Zusammen,
ich habe nicht wirklich eine Ahnung, wie ich diese Aufgabe lösen soll. Vor allem dieses [mm] \langle [/mm] v,Tv [mm] \rangle [/mm] ist mir nicht so ganz klar. Was stellt dies dar?
Würde mich über Tipps/Ideen sehr freuen.
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Hi,
Dieses [mm] $\langle v,Tv\rangle [/mm] $ ist [mm] $v^T*T*v$, [/mm] wobei hier [mm] $v^T$ [/mm] der Vektor v als Zeilenvektor geschrieben ist.
Man weiß allgemein [mm] $\lambda_{max}(T):=\sup_{v} [/mm] (v^TTv)$. Einen Tipp kann ich dir da nicht gegeben, da ich nicht weiß was worauf du zurückgreifen darfst, kannst.
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Einige Fragen zu deiner Antwort:
Was soll das v unter sup in $ [mm] \lambda_{max}(T):=\sup_{v} [/mm] (v^TTv) $ bedeuten?
Wie zeige ich denn prinzipiell, dass [mm] \lambda_1 \le \langle [/mm] v,Tv [mm] \rangle \le \lambda_n [/mm] für jeden orthonormierten Vektor v gilt?
[mm] \lambda_{max}(T):=\sup_{v} [/mm] (v^TTv) sagt mir doch nur, dass der größte Eigenwert von T die obere Schranke von (v^TTv) ist, oder?
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Für einen Eigenvektor v von T zum Eigenwert [mm]\lambda[/mm] ist das trivial.
[mm]\langle v,Tv\rangle = \lambda\langle v,v\rangle =\lambda \Vert v \Vert^2=\lambda[/mm]
Und das kann durch den größten bzw. kleinsten Eigenwert nach oben, bzw. unten abgeschätzt werden.
Spannend wird es für Vektoren, die keine Eigenvektoren sind. Da selbstadjungierte Matrizen (symmetrisch) stets diagonalisierbar sind, gibt es eine Basis aus Eigenvektoren und jeder Vektor sollte sich als LK von Eigenvektoren schreiben lassen.
Und das wird dann abgeschätzt.
Edit: Ich sehe grad, dass kein spezieller VR angegeben ist. Aber für hermitesche Matrizen geht es auch.
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