Eigenwerte/Eigenräume < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo!
Verstehe die Aufgabenstellung meiner LA2 Aufgabe nicht richtig. Bräuchte mal eure Hilfe!
Sie lautet so:
Sei V der Vektorraum der Polynomabbildung auf [mm] \IR [/mm] und sei W der Vektorraum der auf [mm] \IR [/mm] beliebig oft differenzierbaren Funktionen. Sei [mm] \alpha\in\ [/mm] End(V) gegeben durch [mm] f^{\alpha}=f' [/mm] für alle [mm] f\in [/mm] V und (genauso) [mm] \beta\in\ [/mm] End(W) durch [mm] f^{\beta}=f' [/mm] für alle [mm] f\in [/mm] W.
Nun soll ich sämtliche Eigenwerte und Eigenräume bestimmen!
Für Matrizen kann ich das ja (char. Polynom bilden, Eigenwerte=Nullstellen des char. Polynoms, usw.), aber wie funktioniert das bei dieser Aufgabe?
Mich verwirrt der erste Satz mit den Vektorräumen schon! was bringt mir das für meine Eigenwerte und Eigenräume?!
Wäre echt lieb, wenn mir jemand weiterhelfen könnte! Danke schon mal für eure Mühe!
Liebe Grüße Jessi
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:38 Sa 30.04.2005 | | Autor: | Staatsi21 |
Hallo Stefan!
Sorry, dass ich mich jetzt erst melde, hatte bis eben noch Tennispunktspiel!
Aber dank dir, weiß ich jetzt schon mal, wie die Aufgabe zu verstehen ist!
> Kümmern wir uns mal um die Eigenwerte/Eigenvektoren von
> [mm]\alpha[/mm]. Die Frage ist ja: Für welche Polynome [mm]p \ne 0[/mm] gibt
> es ein [mm]\lambda \in \IR[/mm] mit
>
> [mm]p^{\alpha} = p' = \lambda \cdot p[/mm].
>
> Sprich: "Welche Polynome sind nach dem Ableiten ein
> Vielfaches von sich selbst?"
>
> Viele bleiben da nicht übrig, soviel als Tipp. 
Spontan würde mir nur [mm] e^{x^{n}} [/mm] einfallen! Oder geht das nicht?!
Denn bei [mm] x^{n} [/mm] würde beim Ableiten ja immer [mm] n*x^{n-1} [/mm] rauskommen und das erfüllt ja die Bedingung nicht!
>
> Bei [mm]\beta[/mm] stellt sich die gleiche Frage:
>
> Für welche unendlich oft differenzierbaren Funktionen [mm]f \ne 0[/mm]
> gibt es ein [mm]\lambda \in \IR[/mm] mit
>
> [mm]f^{\beta} = f' = \lambda \cdot f[/mm].
>
> Hier gibt es schon mehr! Zum Beispiel die
> Exponentialfunktion [mm]f(x)=e^x[/mm]. Gibt es denn noch mehr,
> vielleicht leicht modifizierte Funktionen, die diese
> Bedingung erfüllen?
Gibt bestimmt noch mehr, nur im Moment fällt mir nichts ein, bin ziemlich kaputt. Vielleicht was mit sin und cos?! Naja, morgen werde ich mir nochmal Gedanken machen!
Also, vielen, vielen Dank, dass du mir geholfen hast! Ist ja eigentlich nicht so schwer, aber irgendwie war ich zu doof, die Aufgabe zu verstehen!
Schönen Abend noch... Gruß Jessi
|
|
|
|
