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Forum "Lineare Algebra - Matrizen" - Eigenwerte, A_ij= (-1)^(ij)
Eigenwerte, A_ij= (-1)^(ij) < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Eigenwerte, A_ij= (-1)^(ij): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:08 Mi 16.11.2016
Autor: sissile

Aufgabe
Wie berechne ich die Eigenwerte der Matrix [mm] (A)_{ij}=(-1)^{ij} [/mm] mit A [mm] \in M_{n\times n} (\mathbb{R}) [/mm] und n [mm] \in \mathbb{N} [/mm] fixiert?



Hallo,
Die Matrix hat eine "schachbrettartige" Anordnung. Da det(A)=0 für n > 2 ist gibt es auch einen Eigenwert der 0 ist.
Für n=1: A=-1

Im Grundgenommen bräuchte ich nur die Information herausfinden ob es [Eigenwerte mit verschiedenen Vorzeichen gibt] ODER ob [alle Eigenwerte [mm] \ge [/mm] 0 oder [mm] \le [/mm] 0 sind].

Hilfe, würde mich sehr freuen.
LG,
Sissi

        
Bezug
Eigenwerte, A_ij= (-1)^(ij): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:00 Do 17.11.2016
Autor: angela.h.b.

Hallo,

ohne Gewähr und Beweiskraft:

ich habe eben einfach experimentiert und herausgefunden:

0 ist (n-1)-facher Eigenwert und -n einfacher.

LG Angela

Bezug
                
Bezug
Eigenwerte, A_ij= (-1)^(ij): Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 09:56 Do 17.11.2016
Autor: sissile

Hallo,
Danke für deine Antwort.
Ja das habe ich auch herausgefunden mittels Ausprobieren, frage mich aber wie ich die Behauptung verifizieren kann..bei sowas scheint mir ja Induktion eventuell der richtige Weg.. wenn der Induktionsschritt nur hinhauen würde.

Bezug
                        
Bezug
Eigenwerte, A_ij= (-1)^(ij): Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:20 Sa 19.11.2016
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
        
Bezug
Eigenwerte, A_ij= (-1)^(ij): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:47 Do 17.11.2016
Autor: luis52

Moin,

ich meine, so koennte es was werden. Setze [mm] $\mathbf{a}_n=(1,-1,\dots,(-1)^{n+1})'$. [/mm] Dann laesst sich die Matrix schreiben als  auesseres Produkt [mm] $\mathbf{a}_n$\mathbf{a}_n'$. [/mm] Folglich ist sie symmetrisch und positiv-semidefinit. Wenn ich mich nicht vertan habe, kann man nun die Eigenwerte [mm] $n,0,0,\dots,0$ [/mm] schnell herleiten ...

Bezug
                
Bezug
Eigenwerte, A_ij= (-1)^(ij): Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:56 Mo 21.11.2016
Autor: sissile

danke, die Aufgabe konnte ich nun lösen.
LG, Sissi

Bezug
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