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Eigenwerte /-vektoren: Werte/-vektoren

Status:	(Frage) beantwortet
Datum:	00:58 Mo 31.10.2011
Autor:	al3pou

Aufgabe

 Bestimmen Sie die Eigenwerte und zugehörigen Eigenvektoren von A.

A = [mm] \pmat{ -2 & 1 & 1  \\ 1 & -2 & 1 \\ 1 & 1 & -2 } [/mm]

Hallo,

folgendes Problem:

Ich habe zunächst mein charakteristischen Polynom aufgestellt

[mm] P(\lambda) [/mm] = [mm] (-2-\lambda)^{3} [/mm] + 2 - [mm] 3*(-2-\lambda) [/mm]
[mm] =-\lambda(\lambda [/mm] + [mm] 3)^{2} [/mm]

also sind die Eigenwerte 0 und -3.
Dann wollte ich Eigenvektoren ausrechnen. Für [mm] \lambda [/mm] = 0 komme ich auf [mm] v_{1} [/mm] = [mm] v_{2} [/mm] = [mm] v_{3} [/mm] und habe für [mm] v_{1} [/mm] = 1 gewählt also erhalte ich als ersten Eigenvektoren

[mm] \vec{v_{1}} [/mm] = [mm] (1,1,1)^{T} [/mm]

Für den zweiten Vektor habe ich das Gleichungssystem

[mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 }\vek{v_{2}} [/mm] = [mm] \vec{0} [/mm]

Wie gehe ich da vor und ist bis dato alles korrekt?
Bitte schnelle Hilfe :)

Bezug

Eigenwerte /-vektoren: Antwort

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	07:47 Mo 31.10.2011
Autor:	luis52

Moin

> Bestimmen Sie die Eigenwerte und zugehörigen Eigenvektoren
> von A.
>
> A = [mm]\pmat{ -2 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 1 \\ 1 & 1 & -2 }[/mm]
>
> Hallo,
>
> folgendes Problem:
>
> Ich habe zunächst mein charakteristischen Polynom
> aufgestellt
>
> [mm]P(\lambda)[/mm] = [mm](-2-\lambda)^{3}[/mm] + 2 - [mm]3*(-2-\lambda)[/mm]
>      [mm]=-\lambda(\lambda[/mm] + [mm]3)^{2}[/mm]
>
> also sind die Eigenwerte 0 und -3.
>  Dann wollte ich Eigenvektoren ausrechnen. Für [mm]\lambda[/mm] = 0
> komme ich auf [mm]v_{1}[/mm] = [mm]v_{2}[/mm] = [mm]v_{3}[/mm] und habe für [mm]v_{1}[/mm] = 1
> gewählt also erhalte ich als ersten Eigenvektoren
>
> [mm]\vec{v_{1}}[/mm] = [mm](1,1,1)^{T}[/mm]

>
> Für den zweiten Vektor

Die Eigenvektoren, denn $-3$ ist doppelte Nullstelle.

> habe ich das Gleichungssystem
>
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 }\vek{v_{2}}[/mm] =
> [mm]\vec{0}[/mm]
>
> Wie gehe ich da vor und ist bis dato alles korrekt?

Ich sehe zwei linear unabhaengige Loesungen: [mm] $(1,-1,0)^T$ [/mm] und [mm] $(1,0,-1)^T$. [/mm]

>  Bitte schnelle Hilfe :)

Bitte nicht draengeln.

vg Luis