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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:02 Fr 29.01.2010 | | Autor: | chipbit |
| Aufgabe | | Berechnen Sie alle Eigenwerte und die entsprechenden Eigenvektoren der Matrix [mm] A=\pmat{ 0 & 1 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 1 & 0 } [/mm] |
Hallo,
an sich sind eigenwerte kein Problem, nur mit der Matrix bin ich unsicher. Ich hab mit Laplace mal angefangen, um das charakteristische Polynom zu berechnen.
[mm] \pmat{ 0-\lambda & 1 & 1 & -1 \\ 1 & 0-\lambda & -1 & 1 \\ 1 & -1 & 0-\lambda & 1 \\ -1 & 1 & 1 & 0-\lambda}
[/mm]
[mm] =-\lambda*\vmat{ -\lambda & -1 & 1 \\ -1 & -\lambda & 1 \\ 1 & 1 & -\lambda } -1*\vmat{ 1 & 1 & -1 \\ -1 & -\lambda & 1 \\ 1 & 1 & -\lambda }+1*\vmat{ 1 & 1 & -1 \\ -\lambda & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -\lambda }+1*\vmat{ 1 & 1 & -1 \\ -\lambda & -1 & 1 \\ -1 & -\lambda & 1 }
[/mm]
[mm] =-\lambda*(-\lambda^3+3\lambda-2)-(\lambda^2-2\lambda+1)+(-\lambda^2+2\lambda-1)+(-\lambda^2+2\lambda-1)=\lambda^4-6\lambda^2+8\lambda-3
[/mm]
ist das soweit richtig?
Jetzt weiß ich nicht genau wie ich am Besten an das Polynom rangehe. Bringt mir Polynomdivision hier was oder gibt es eine andere Möglichkeit um "bequem" an die Nullstellen zu kommen?
Also durch einfaches Probieren habe ich schon [mm] \lambda_1=1 [/mm] rausbekommen.
Ich habe zwar mal eine Polynomdivision probiert, aber komme schon bei dem zweiten Schritt irgendwie nicht weiter, weil mir im Polynom [mm] \lambda^3 [/mm] fehlt und ich nicht genau weiß wie ich das dann handhaben muss.
Über Hilfe eurerseits würd ich mich sehr freuen.
LG, chip
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Hallo chipbit,
> Berechnen Sie alle Eigenwerte und die entsprechenden
> Eigenvektoren der Matrix [mm]A=\pmat{ 0 & 1 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 1 & 0 }[/mm]
>
> Hallo,
> an sich sind eigenwerte kein Problem, nur mit der Matrix
> bin ich unsicher. Ich hab mit Laplace mal angefangen, um
> das charakteristische Polynom zu berechnen.
> [mm]\pmat{ 0-\lambda & 1 & 1 & -1 \\ 1 & 0-\lambda & -1 & 1 \\ 1 & -1 & 0-\lambda & 1 \\ -1 & 1 & 1 & 0-\lambda}[/mm]
>
> [mm]=-\lambda*\vmat{ -\lambda & -1 & 1 \\ -1 & -\lambda & 1 \\ 1 & 1 & -\lambda } -1*\vmat{ 1 & 1 & -1 \\ -1 & -\lambda & 1 \\ 1 & 1 & -\lambda }+1*\vmat{ 1 & 1 & -1 \\ -\lambda & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -\lambda }+1*\vmat{ 1 & 1 & -1 \\ -\lambda & -1 & 1 \\ -1 & -\lambda & 1 }[/mm]
>
> [mm]=-\lambda*(-\lambda^3+3\lambda-2)-(\lambda^2-2\lambda+1)+(-\lambda^2+2\lambda-1)+(-\lambda^2+2\lambda-1)=\lambda^4-6\lambda^2+8\lambda-3[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> ist das soweit richtig?
Ja!
Das schöne an der Matrix ist, dass die symmetrisch ist.
Damit hat sie nur reelle Eigenwerte und Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten stehen orthogonal aufeinander.
> Jetzt weiß ich nicht genau wie ich am Besten an das
> Polynom rangehe. Bringt mir Polynomdivision hier was oder
> gibt es eine andere Möglichkeit um "bequem" an die
> Nullstellen zu kommen?
> Also durch einfaches Probieren habe ich schon [mm]\lambda_1=1[/mm]
> rausbekommen.
> Ich habe zwar mal eine Polynomdivision probiert, aber
> komme schon bei dem zweiten Schritt irgendwie nicht weiter,
> weil mir im Polynom [mm]\lambda^3[/mm] fehlt und ich nicht genau
> weiß wie ich das dann handhaben muss.
Raten und Polynomdivision ist aber genau der richtige Weg.
Beim Raten gibt's einen kleinen "Trick", den du bestimmt kennst:
Wenn es eine ganzzahlige Nullstelle gibt, so muss diese ganzzahliger Teiler des Absolutgliedes (also desjenigen ohne [mm] \lambda) [/mm] sein.
Das grenzt doch die Rateversuche beachtlich ein ...
Vllt. hast du dich verrechnet, aber ich bekomme:
[mm] $(\lambda^4-6\lambda^2+8\lambda-3):(\lambda-1)=\lambda^3+\lambda^2-5\lambda+3$
[/mm]
Und bei dem verbleibenden Polynom dritten Grades lässt sich netterweise eine weitere Nullstelle bequem raten und dann als Linearfaktor per PD abspalten.
Das dann verbliebende quadratische Polynom kannst du mit der üblichen Methoden erlegen ...
> Über Hilfe eurerseits würd ich mich sehr freuen.
> LG, chip
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:39 So 31.01.2010 | | Autor: | chipbit |
Hallo, vielen Dank schonmal für die Hilfe.
Ich habe jetzt dann nochmal nachgerechnet und komme dann auch auf das Polynom, hatte mich da nen bisserl vertan. Mit dem habe ich weitergerechnet, also durch probieren kam ich noch auf die Nullstelle [mm] \lambda_2=-3. [/mm] Mit PD kam dann raus [mm] \lambda^2-2\lambda+1. [/mm] Das habe ich dann noch durch die p-q-Formel gejagt und da komme ich wiederum auf [mm] \lambda_3=1. [/mm] Ist das richtig?
Dann bräuchte ich ja quasi nur zwei Eigenvektoren berechnen. Das kommt mir aber komisch vor.
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Ich hab das ganze mal überflogen und sieht soweit richtig aus mit deinen Eigenwerten! Rechne doch einfach mal deine Eigenvektoren aus und vielleicht stellst du ja fest das es zum Eigenwert [mm] \lambda [/mm] = 1 mehr als nur einen Eigenvektor gibt. Du müsstest, falls die Matrix diagonalisierbar ist, auf 4 Eigenvektoren kommen!
Grüße, Seamus
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