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| Aufgabe | Ermitteln Sie jeweils die Eigenwerte und die dazugehörigen Eigenvektoren der nachfolgenden Matrizen:
a) [mm] \pmat{ 2 & 1 \\ 0 & -5 }
[/mm]
b) [mm] \pmat{ 0 & -5 \\ 5 & 10 }
[/mm]
c) [mm] \pmat{ 2 & 2 & -2 \\ 1 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 1 }
[/mm]
d) [mm] \pmat{ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 } [/mm] |
Hey ho =)
Zur Eigenwertberechnung wie wir es gemacht haben:
det ((Mat X) - [mm] \lambda*I) [/mm]
Mat X = bekannt
I = Einheitsmatrix
[mm] \lambda [/mm] = unbekannt
Zur Eigenvektorberechnung nutzten wir folgendes:
(Mat [mm] X)*\vec{x} [/mm] = [mm] \lambda*\vec{x}
[/mm]
Hier ist Lambda bekannt, die Matrix ebenfalls, nur der Vektor [mm] \vec{x}
[/mm]
ist unbekannt...
a) det [mm] (\pmat{ 2 & 1 \\ 0 & -5 } [/mm] - [mm] \lambda*\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 })
[/mm]
= (2- [mm] \lambda)(-5- \lambda)-(1*0)
[/mm]
= [mm] \lambda ^2+3\lamda-10
[/mm]
-> [mm] \lambda [/mm] = 2 oder [mm] \lambda [/mm] = -5 (EIGENWERTE)
[mm] \pmat{ 2 & 1 \\ 0 & -5 }*\vektor{x \\ y} [/mm] = [mm] 2\vektor{x \\ y}
[/mm]
[mm] \gdw \vektor{2x+y \\ -5y} [/mm] = [mm] \vektor{2x \\ 2y}
[/mm]
-> 2x+y=2x und -5y=2y
-> y=o und 2x=2x
-> y=0 und x beliebig
Ein Eigenvektor wäre also zum Beispiel:
[mm] \vektor{1 \\ 0}
[/mm]
Für Lambda = -5 würde demnach beispielsweise
y=1 und [mm] x=-\bruch{1}{7}, [/mm] also
[mm] \vektor{-\bruch{1}{7} \\ 1}
[/mm]
herauskommen.
b) Selbe Rechnungsart wie bei a).
Eigenwert: [mm] \lambda [/mm] = 5
Eigenvektor beispielsweise: [mm] \vektor{1 \\ -1}
[/mm]
c) So hier hab ich dann eine Frage...
det [mm] \pmat{ 2-\lambda & 2 & -2 \\ 1 & 2-\lambda & 0 \\ 1 & 1 & 1-\lambda }
[/mm]
= [mm] ((2-\lambda)(2-\lambda)(1-\lambda))+(2*0*1)+(1*1*-2)-(-2*(2-\lambda)*1)-(0*1*(2-\lambda))-(2*1*(1-\lambda))
[/mm]
Umrechnung hoffentlich fehlerfrei
= [mm] -\lambda^3+5\lambda^2-4\lambda-4
[/mm]
Meine Frage: Muss ich jetzt auf jeden Fall Polynomdivision anwenden?
Wenn ja, wie komme ich auf eine mögliche Lösung?
d) det [mm] \pmat{ 0-\lambda & 1 & 1 \\ 1 & 0-\lambda & 1 \\ 1 & 1 & 0-\lambda }
[/mm]
= [mm] (0-\lambda)^3+1+1-(0-\lambda)-(0-\lambda)-(0-\lambda)
[/mm]
= [mm] -\lambda^3+2+\lambda+\lambda+\lambda
[/mm]
= [mm] -\lambda^3+3\lambda+2
[/mm]
Hier müsste ich dann wahrscheinlich auch wieder Polynomdivision anwenden oder?
Danke schon einmal im Vorraus =)
Einen schönen Tag noch!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Ermitteln Sie jeweils die Eigenwerte und die dazugehörigen
> Eigenvektoren der nachfolgenden Matrizen:
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> a) [mm]\pmat{ 2 & 1 \\ 0 & -5 }[/mm]
>
> b) [mm]\pmat{ 0 & -5 \\ 5 & 10 }[/mm]
>
> c) [mm]\pmat{ 2 & 2 & -2 \\ 1 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 1 }[/mm]
>
> d) [mm]\pmat{ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 }[/mm]
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
a) und b) sind richtig.
Bei c) scheint mir das charakteristische Polynom nicht zu stimmen.
Tip 1) so wenig Klammern wie möglich ausmultiplizieren, immer gucken, ob man was Gemeinsames ausklammern kann. Wenn man Glück hat, hat man am Ende das charakteristische Polynom schon als Produkt mit einem Linearfaktor dastehen, was die Bestimmung der Nullstellen vereinfacht.
Tip 2: Du kannst für die Berechnung des charakteristischen Polynoms Zeilen und Spaltenumformungen machen. Hast Du viele Nullen in der Matrix, kann man die Det. und Nullstellen viel besser berechnen.
Hier
> c) So hier hab ich dann eine Frage...
> det [mm]\pmat{ 2-\lambda & 2 & -2 \\ 1 & 2-\lambda & 0 \\ 1 & 1 & 1-\lambda }[/mm]
[mm] \pmat{ 2-\lambda & 2 & -2 \\ 1 & 2-\lambda & 0 \\ 1 & 1 & 1-\lambda } [/mm] --> (3.Z - 2. Zeile) [mm] \pmat{ 2-\lambda & 2 & -2 \\ 1 & 2-\lambda & 0 \\ & \lambda-1 & 1-\lambda }
[/mm]
Wenn Du jetzt nach der dritten Zeile entwickelst, kannst Du den Faktor [mm] (1-\lambda) [/mm] schon bequem ausgeklammern.
Ansonsten: eine Nullstelle raten, Polynomdivision, nächste Nullstelle bestimmen.
>
> =
> [mm]((2-\lambda)(2-\lambda)(1-\lambda))+(2*0*1)+(1*1*-2)-(-2*(2-\lambda)*1)-(0*1*(2-\lambda))-(2*1*(1-\lambda))[/mm]
> Umrechnung hoffentlich fehlerfrei
> = [mm]-\lambda^3+5\lambda^2-4\lambda-4[/mm]
>
> Meine Frage: Muss ich jetzt auf jeden Fall Polynomdivision
> anwenden?
> Wenn ja, wie komme ich auf eine mögliche Lösung?
>
> d) det [mm]\pmat{ 0-\lambda & 1 & 1 \\ 1 & 0-\lambda & 1 \\ 1 & 1 & 0-\lambda }[/mm]
>
> =
> [mm](0-\lambda)^3+1+1-(0-\lambda)-(0-\lambda)-(0-\lambda)[/mm]
> = [mm]-\lambda^3+2+\lambda+\lambda+\lambda[/mm]
> = [mm]-\lambda^3+3\lambda+2[/mm]
>
> Hier müsste ich dann wahrscheinlich auch wieder
> Polynomdivision anwenden oder?
Eine Nullstelle erraten, Polynomdivision, ggf. andere Nullstellen berechnen.
Aber auch hier kannst Du übungshalber mal Matrixumformungen vornehmen.
In Klausuren, wenn die Zeit läuft, ist es Gold wert, wenn man das geübt hat.
Gruß v. Angela
P.S.: Tut mir leid, daß es trotz wenig Text solange gedauert hat. Habe zwischendurch einen Riesenberg Pfannkuchen gebacken und das Abschicken vergessen.
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> Danke schon einmal im Vorraus =)
> Einen schönen Tag noch!
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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Danke dir =)
Und ich hoffe deine Pfannkuchen haben geschmeckt +lach+
Bis dann ;)
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