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Eigenwerte: Gershgorin
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:34 Mi 04.08.2021
Autor: Leon33

Guten Abend,
habe gerade Probleme bei dieser Aufgabe

Betrachten sie die Matrix
[mm]A=\begin{pmatrix} -6 & 6 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 4 & 0 & 10 \end{pmatrix} [/mm]
(a) Geben Sie die Gershgorin-Kreise zur Matrix A in der komplexen Ebene an.
(b) Berechnen Sie für A einen Schritt der inversen Vektoriteration nach Wielandt mit Shift μ = 2 für den Startvektor ( [mm] -2,2-4)^T [/mm] und dem dazugehörigen Rayleigh Quotienten .Verwenden sie die undendlich. Norm zur Normierung

c) Berechnen sie mit dem Ergebnis aus b) eine Annäherung an einen Eigenwert von A.
In welchem der in a) angegebenen Kreis liegt der Eigenwert?

        
Bezug
Eigenwerte: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:36 Mi 04.08.2021
Autor: Leon33

(a) Geben Sie die Gershgorin-Kreise zur Matrix A in der komplexen Ebene an.
(b) Berechnen Sie für A einen Schritt der inversen Vektoriteration nach Wielandt mit Shift μ = 2 für den Startvektor (

Bezug
                
Bezug
Eigenwerte: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:13 Do 05.08.2021
Autor: HJKweseleit

Ich kann dir nur (die) Eigenvektoren und Eigenwerte nennen, vom Rest habe ich keine Ahnung:

[mm] \vektor{3 \\ 5 \\ -2} [/mm] zum Eigenwert 4,

[mm] \vektor{4 \\ 0 \\ -1} [/mm] zum Eigenwert -6,

[mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1} [/mm] zum Eigenwert 10.


Bezug
                
Bezug
Eigenwerte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:21 Do 05.08.2021
Autor: fred97


> (a) Geben Sie die Gershgorin-Kreise zur Matrix A in der
> komplexen Ebene an.
>  (b) Berechnen Sie für A einen Schritt der inversen
> Vektoriteration nach Wielandt mit Shift μ = 2 für den
> Startvektor (


Das ist eine unvollständige Kopie deiner ersten Frage

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Bezug
Eigenwerte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:19 Do 05.08.2021
Autor: fred97


> Guten Abend,
>  habe gerade Probleme bei dieser Aufgabe

Hallo Leon,
leider sagst du nicht, welche Probleme du hast.  

Eigene Ansätze sehe ich auch nicht.


>  
> Betrachten sie die Matrix
>  [mm]A=\begin{pmatrix} -6 & 6 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 4 & 0 & 10 \end{pmatrix} [/mm]
>  
> (a) Geben Sie die Gershgorin-Kreise zur Matrix A in der
> komplexen Ebene an.

Nimm dir die Definition der Gershgorin-Kreise her, und du bist fertig.  Wo da ein Problem ist,
sehe ich nicht.


>  (b) Berechnen Sie für A einen Schritt der inversen
> Vektoriteration nach Wielandt mit Shift μ = 2 für den
> Startvektor ( [mm]-2,2-4)^T[/mm] und dem dazugehörigen Rayleigh
> Quotienten .Verwenden sie die undendlich. Norm zur
> Normierung

Auch hier benötigt man nur die Vorschrift der Iteration. Gegebene Daten einsetzen, einen Schritt berechnen, fertig.

>
> c) Berechnen sie mit dem Ergebnis aus b) eine Annäherung
> an einen Eigenwert von A.

Wie lauten die Eigenwerte von A ? Das Resultat aus b) liefert dann die Antwort.


>  In welchem der in a) angegebenen Kreis liegt der
> Eigenwert?

Wenn du a) hast, ist die Antwort auf diese Frage geschenkt.

Gruß Fred


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Bezug
Eigenwerte: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:26 Sa 07.08.2021
Autor: Leon33

a)

[mm]A=\begin{pmatrix} -6 & 6 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 4 & 0 & 10 \end{pmatrix} [/mm]

K1:
Mittelpunkt m1 = -6
von allem Betrag
r1 = 6+0 = 6

K2 = Mittelpunkt m2 = 4

r2 = 0 + 0 = 0

K3 m3 =10

r3 = 4+0 =4


b) B= (A+ 2* I )^-1

Wisst ihr was ich für I einsetzen soll?
Ist a) ok?

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Eigenwerte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:58 Sa 07.08.2021
Autor: meili

Hallo Leon33,

> a)
>  
> [mm]A=\begin{pmatrix} -6 & 6 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 4 & 0 & 10 \end{pmatrix} [/mm]
>  
> K1:
>  Mittelpunkt m1 = -6
>  von allem Betrag
>  r1 = 6+0 = 6
>
> K2 = Mittelpunkt m2 = 4
>  
> r2 = 0 + 0 = 0
>  
> K3 m3 =10
>  
> r3 = 4+0 =4

[ok]

>  
>
> b) B= (A+ 2* I )^-1
>  
> Wisst ihr was ich für I einsetzen soll?

I ist die Einheitsmatrix der entsprechenden Größe. Da A eine 3 x 3 - Matrix ist, ist I = [mm] $\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }$. [/mm]

>  Ist a) ok?

Gruß
meili

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Eigenwerte: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:47 Sa 07.08.2021
Autor: Leon33

[mm]B=(\begin{pmatrix} -4 & 6 & 0 \\ 0 & 6 & 0 \\ 4 & 0 & 12 \end{pmatrix} )^-1 [/mm]


Kriege das für B raus ?
Wie muss ich jetzt genau weiter voregehen?

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Eigenwerte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:24 Sa 07.08.2021
Autor: fred97


> [mm]B=(\begin{pmatrix} -4 & 6 & 0 \\ 0 & 6 & 0 \\ 4 & 0 & 12 \end{pmatrix} )^-1 [/mm]
>  
>
> Kriege das für B raus ?
>  Wie muss ich jetzt genau weiter voregehen?


Ich bin erstaunt. Wie lautet den der Algorithmus der Vektoriteration?  

Damit sollte es klar sein, wie es weitergeht.

FRED

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Eigenwerte: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:29 So 08.08.2021
Autor: Leon33

Ich habe mir paar Beispiele angeschaut ,aber ich verstehe nicht wie ich hier vorgehen soll?
Könnt ihr mir das ein wenig erklären ?

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Eigenwerte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:23 So 08.08.2021
Autor: fred97


> Ich habe mir paar Beispiele angeschaut ,aber ich verstehe
> nicht wie ich hier vorgehen soll?
>  Könnt ihr mir das ein wenig erklären ?

Wie lautet die Iterationsvorschrift ??

Fred


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Eigenwerte: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:53 So 08.08.2021
Autor: Leon33

Ich weiss leider gar nicht wie ich das machen soll , habe dazu nicht so richtig was gefunden .
Wir machen während corona Selbststudium .
Man erklärt uns gar nix mehr
Die Professoren machen es sich aktuell sehr leicht
Volles Gehalt ohne Vorlesungen :)

Bezug
                                                                        
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Eigenwerte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:38 Mo 09.08.2021
Autor: angela.h.b.


> Ich weiss leider gar nicht wie ich das machen soll , habe
> dazu nicht so richtig was gefunden .

Moin,

ist die Suchmaschine kaputt bei dir?

Ich hab' ja von dieser inversen Iteration nach Wieland null Ahnung. Vergessen oder nie gehört.
Aber ich hab' mal gegoogelt, und da findet man die Vorschrift so schnell, daß man keine Zeit hat, sich dagegen zu wehren.

Bei wikipedia fand ich []https://de.wikipedia.org/wiki/Inverse_Iteration#Algorithmus


Da täte ich jetzt einfach mal beginnen:

A= ???

Der Startvektor [mm] x_0=??? [/mm]

Shift heißt in wikipedia [mm] \Theta[/mm], bei dir [mm] \mu, [/mm] das kriegt man hin,

[mm] \mu=2, [/mm]

fehlt noch

[mm] A-\mu*I=??? [/mm]

(Warum hast Du eigentlich irgendwo bei deinen vorhergehenden Bemühungen A+2I ausgerechnet?).

So. Die Vorbereitungen sind getroffen. Es geht los.

k=1.

(Überall, wo in der Vorschrift k steht, schreibst Du jetzt die 1 hin.)

Nun berechne

[mm] q_1=... [/mm]

Also nächstes soll man [mm] x_1 [/mm] berechnen,
indem man das LGS

[mm] (A-\mu I)x_1=q_1 [/mm] löst.

Und als nächstes steht da, wie man [mm] \lambda_1, [/mm] eine Näherung für den Eigenwert, bekommt.

[mm] \lambda_1=??? [/mm]

Da du lt Aufgabenstellung nur einen Iterationsschritt machen mußt, bist Du damit dann schon fertig.


> Wir machen während corona Selbststudium .

Ist halt so.
Aber Mathe kann man (als durchschnittlich begabter Mensch) eh nur begreifen mit viel Selbststudium daheim.
Wenn man DAS verstanden hat, studiert sich's erfolgreicher. :)

> Man erklärt uns gar nix mehr
> Die Professoren machen es sich aktuell sehr leicht
> Volles Gehalt ohne Vorlesungen :)

Oh, das ist ein brandheißer Tip. Vllt sollte ich doch noch schnell an meiner Karriere arbeiten.

LG Angela

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Eigenwerte: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:36 Mo 09.08.2021
Autor: Leon33

[mm]B=\begin{pmatrix} -8 & 6 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 4 & 0 & 8 \end{pmatrix} [/mm]

So besser ?

q1 = [mm] (-2,2,-4)^T [/mm] / Betrag [mm] (-2,2,-4)^T [/mm] = ?

Wird das im Nenner zu 1 oder wie?

Bezug
                                                                                        
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Eigenwerte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:19 Mo 09.08.2021
Autor: fred97


> [mm]B=\begin{pmatrix} -8 & 6 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 4 & 0 & 8 \end{pmatrix} [/mm]
>  
> So besser ?

Wenn B=A-2I ist, so stimmts.

>  
> q1 = [mm](-2,2,-4)^T[/mm] / Betrag [mm](-2,2,-4)^T[/mm] = ?

Hä ?  Es ist [mm] x_0=(-2,2,-4)^T. [/mm]

Du sollst die Unendlich -Norm verwenden !


>  
> Wird das im Nenner zu 1 oder wie?


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Eigenwerte: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:00 Mo 09.08.2021
Autor: Leon33

die unendlich Norm von -4 = 4 oder ?

q1 = [mm] (-2,2,-4)^T [/mm] /4 rechnen dann?



Bezug
                                                                                                        
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Eigenwerte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:22 Mo 09.08.2021
Autor: angela.h.b.


> die unendlich Norm von -4 = 4 oder ?

[mm] \parallel x_0\parallel_\infty=4 [/mm]
>

> q1 = [mm](-2,2,-4)^T[/mm] /4 rechnen dann?

Wäre eine gute Idee.

LG Angela
>
>

Bezug
                                                                                                                
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Eigenwerte: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:04 Di 10.08.2021
Autor: Leon33

wie rechne ich das /4 aus ?
Soll ich einfach den [mm] (-2,2,-4)^T/ [/mm] 4 so stehen lassen ?

[mm]B=\begin{pmatrix} -8 & 6 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 4 & 0 & 8 \end{pmatrix} * (x_1,x_2,x_3)^T = (-2,2,-4)^T/ 4[/mm]


Wie soll ich hier das ausrechen ?
Der rechte Term irritiert?

Bezug
                                                                                                                        
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Eigenwerte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:55 Di 10.08.2021
Autor: fred97


> wie rechne ich das /4 aus ?

Es ist [mm] x_0=(-2,2,-4)^T, [/mm] also [mm] $||x_0||_{\infty}= \max \{|-2|, |2|, |-4|\}=4.$ [/mm]

Dann ist [mm] q_1= \frac{x_0}{||x_0||_{\infty}}=(-1/2, [/mm] 1/2, [mm] -1)^T. [/mm]



>  Soll ich einfach den [mm](-2,2,-4)^T/[/mm] 4 so stehen lassen ?
>  
> [mm]B=\begin{pmatrix} -8 & 6 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 4 & 0 & 8 \end{pmatrix} * (x_1,x_2,x_3)^T = (-2,2,-4)^T/ 4[/mm]

Ich würde hier nicht  [mm] (x_1,x_2,x_3)^T [/mm]  schreiben, sonst gibt es Verwechslungen mit der Folge [mm] $(x_k)$ [/mm] der Iterierten.

Es ist $B=A-2I$ und

    [mm] $Bx_1 =q_1.$ [/mm]

Berechnen sollst Du [mm] x_1. [/mm] Also invertiere die Matrix B. Dann:

    [mm] $x_1=B^{-1}q_1.$ [/mm]

FRED

>  
>
> Wie soll ich hier das ausrechen ?
>  Der rechte Term irritiert?


Bezug
                                                                                                                                
Bezug
Eigenwerte: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:05 Di 10.08.2021
Autor: Leon33

Das B ist doch die invertierte Matrix?
Das ist doch (A-u*I)^-1

Bezug
                                                                                                                                        
Bezug
Eigenwerte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:43 Di 10.08.2021
Autor: fred97


> Das B ist doch die invertierte Matrix?
>  Das ist doch (A-u*I)^-1


Nein. $ [mm] B=\begin{pmatrix} -8 & 6 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 4 & 0 & 8 \end{pmatrix} [/mm] =A-2I$.

FRED


Bezug
                                                                                                                                                
Bezug
Eigenwerte: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:06 Di 10.08.2021
Autor: Leon33

Ich habe jetzt versucht die Inverse der Matrix zu berechnen mit der Cramerschen Regel bekomme aber Det eine negative Zahl raus ?

Nach der unteren letzten Zeile entwickelt :

det B = 4*0 + 0 + 8*(-16) = -128

Geht es trotzdem ?

Bezug
                                                                                                                                                        
Bezug
Eigenwerte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:17 Di 10.08.2021
Autor: fred97


> Ich habe jetzt versucht die Inverse der Matrix zu berechnen
> mit der Cramerschen Regel bekomme aber Det eine negative
> Zahl raus ?
>  
> Nach der unteren letzten Zeile entwickelt :
>  
> det B = 4*0 + 0 + 8*(-16) = -128
>  
> Geht es trotzdem ?

Ja, warum denn nicht ??

Bezug
                                                                                                                                                                
Bezug
Eigenwerte: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:40 Di 10.08.2021
Autor: Leon33

hmm hier mal meine Inverse .

Ich glaube da ist irgendwo Fehler
[mm]A^-1= 1/-128 *\begin{pmatrix} 16 & -48 & 0 \\ 0 & 64 & 0 \\ 8 & -24 & 16 \end{pmatrix} [/mm]


Passt net so genau mit online Berechnung


??

Bezug
                                                                                                                                                                        
Bezug
Eigenwerte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:34 Di 10.08.2021
Autor: fred97


> hmm hier mal meine Inverse .
>  
> Ich glaube da ist irgendwo Fehler


Tja, wir sind keine Hellseher.  Nur deine Rechnungen zeigen, was du falsch gemacht hast.

Und diese Technungen fehlen.


>  [mm]A^-1= 1/-128 *\begin{pmatrix} 16 & -48 & 0 \\ 0 & 64 & 0 \\ 8 & -24 & 16 \end{pmatrix} [/mm]
>  
>
> Passt net so genau mit online Berechnung
>
>
> ??


Bezug
                                                                                                                                                                                
Bezug
Eigenwerte: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:20 Di 10.08.2021
Autor: Leon33

[mm]A^-1= \begin{pmatrix} -1/8 & 3/8 & 0 \\ 0 & 1/2 & 0 \\ 1/16 & -3/16 & 1/8 \end{pmatrix} [/mm]


Gut die Inverse haben wir nun .
Was soll ich genau als nächstes machen ?


Bezug
                                                                                                                                                                                        
Bezug
Eigenwerte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:37 Di 10.08.2021
Autor: angela.h.b.


> [mm]A^-1= \begin{pmatrix} -1/8 & 3/8 & 0 \\ 0 & 1/2 & 0 \\ 1/16 & -3/16 & 1/8 \end{pmatrix} [/mm]

>
>

> Gut die Inverse haben wir nun .

Das ist nicht [mm] A^{-1}, [/mm] sondern [mm] B^{-1}=(A-2I)^{-1}. [/mm]

> Was soll ich genau als nächstes machen ?

Das LGS [mm] Bx_1=q_1 [/mm] lösen,
indem Du die Gleichung mit [mm] B^{-1} [/mm] multiplizierst.

LG Angela


>

Bezug
                                                                                                                                                                                                
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Eigenwerte: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:13 Di 10.08.2021
Autor: Leon33

Was ist B*x1 = q?
Ich habe paar mal schon dazu meine Ansätze gepostet :)
Vielleicht ist es hier auch durcheinander geraten .
Es wurde gesagt ,dass es falsch ist.
Komme seit Tagen nicht mehr weiter

Bezug
                                                                                                                                                                                                        
Bezug
Eigenwerte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:44 Di 10.08.2021
Autor: Fulla


> Was ist B*x1 = q?
> Ich habe paar mal schon dazu meine Ansätze gepostet :)
> Vielleicht ist es hier auch durcheinander geraten .
> Es wurde gesagt ,dass es falsch ist.
> Komme seit Tagen nicht mehr weiter

Hallo Leon,

wenn du Angelas Tipp befolgst und die Gleichung (von links) mit [mm] $B^{-1}$ [/mm] multiplizierst, erhältst du
    [mm] $x_1=B^{-1}*q_1$ [/mm]

Lieben Gruß
Fulla

Bezug
                                                                                                                                                                                                                
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Eigenwerte: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:12 Mi 11.08.2021
Autor: Leon33

[mm]x_1= \begin{pmatrix} -1/8 & 3/8 & 0 \\ 0 & 1/2 & 0 \\ 1/16 & -3/16 & 1/8 \end{pmatrix} * (-2,2,-4)^T/4 [/mm]

[mm] lambda1 = \bruch{\begin{pmatrix} -1/8 & 3/8 & 0 \\ 0 & 1/2 & 0 \\ 1/16 & -3/16 & 1/8 \end{pmatrix} * (-2,2,-4)^T/4 *Ax1}{x_1^T*x_1} [/mm]


Wie soll beim zweiten Term der Nenner aussehen?
Man ist das alles kompliziert
  

Bezug
                                                                                                                                                                                                                        
Bezug
Eigenwerte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:15 Mi 11.08.2021
Autor: Fulla


> [mm]x_1= \begin{pmatrix} -1/8 & 3/8 & 0 \\ 0 & 1/2 & 0 \\ 1/16 & -3/16 & 1/8 \end{pmatrix} * (-2,2,-4)^T/4 [/mm]

>

> [mm]lambda1 = \bruch{\begin{pmatrix} -1/8 & 3/8 & 0 \\ 0 & 1/2 & 0 \\ 1/16 & -3/16 & 1/8 \end{pmatrix} * (-2,2,-4)^T/4 *Ax1}{x_1^T*x_1}[/mm]

>
>

> Wie soll beim zweiten Term der Nenner aussehen?
> Man ist das alles kompliziert

Du sollst einfach
[mm]x_1= \begin{pmatrix} -1/8 & 3/8 & 0 \\ 0 & 1/2 & 0 \\ 1/16 & -3/16 & 1/8  \end{pmatrix} \vektor{-2 \\ 2 \\ -4}*\frac 14 = \frac 14 \vektor{1 \\ 1 \\-1}[/mm]
ausrechnen.

Ich habe die Zwischenergebnisse, d.h. [mm] $B^{-1}$ [/mm] und [mm] $q_1$ [/mm] nicht nachgerechnet und weiß auch sonst nicht viel über dieses spezielle Thema, aber ganz ehrlich, es ist schon ziemlich schwer dir zu helfen, wenn von dir wirklich gar nichts kommt...
In diesem Thread zeigst du deine Rechenwege nicht und auch sonst ist wenig über deine Ansätze erkennbar.

Tipp für die Zukunft:
- Schreib die Original-Aufgabenstellung ab.
- Beschreibe, was du bisher gemacht hast - inklusive Rechnungen (das mag mühsam sein, aber nur so sieht man, wo du evtl. einen Fehler gemacht hast).
- Erläutere, wo genau dein Problem ist, bzw. wo du hängst.

Das ist wirklich nicht böse gemeint, aber einfach eine Aufgabe hinklatschen und hoffen/bitten, dass jemand anderes sie für dich löst funktioniert so leider nicht.

Lieben Gruß
Fulla

 

Bezug
                                                                                                                                                                                                                                
Bezug
Eigenwerte: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:15 Mi 11.08.2021
Autor: Leon33


> > [mm]x_1= \begin{pmatrix} -1/8 & 3/8 & 0 \\ 0 & 1/2 & 0 \\ 1/16 & -3/16 & 1/8 \end{pmatrix} * (-2,2,-4)^T/4 [/mm]
>  
> >
>  > [mm]lambda1 = \bruch{\begin{pmatrix} -1/8 & 3/8 & 0 \\ 0 & 1/2 & 0 \\ 1/16 & -3/16 & 1/8 \end{pmatrix} * (-2,2,-4)^T/4 *Ax1}{x_1^T*x_1}[/mm]

>  
> >
>  >
>  > Wie soll beim zweiten Term der Nenner aussehen?

>  > Man ist das alles kompliziert

>  
> Du sollst einfach
>  [mm]x_1= \begin{pmatrix} -1/8 & 3/8 & 0 \\ 0 & 1/2 & 0 \\ 1/16 & -3/16 & 1/8  \end{pmatrix} \vektor{-2 \\ 2 \\ -4}*\frac 14 = \frac 14 \vektor{1 \\ 1 \\-1}[/mm]
>  
> ausrechnen.
>  
> Ich habe die Zwischenergebnisse, d.h. [mm]B^{-1}[/mm] und [mm]q_1[/mm] nicht
> nachgerechnet und weiß auch sonst nicht viel über dieses
> spezielle Thema, aber ganz ehrlich, es ist schon ziemlich
> schwer dir zu helfen, wenn von dir wirklich gar nichts
> kommt...
>  In diesem Thread zeigst du deine Rechenwege nicht und auch
> sonst ist wenig über deine Ansätze erkennbar.
>  
> Tipp für die Zukunft:
>  - Schreib die Original-Aufgabenstellung ab.
>  - Beschreibe, was du bisher gemacht hast - inklusive
> Rechnungen (das mag mühsam sein, aber nur so sieht man, wo
> du evtl. einen Fehler gemacht hast).
>  - Erläutere, wo genau dein Problem ist, bzw. wo du
> hängst.
>  
> Das ist wirklich nicht böse gemeint, aber einfach eine
> Aufgabe hinklatschen und hoffen/bitten, dass jemand anderes
> sie für dich löst funktioniert so leider nicht.
>  
> Lieben Gruß
>  Fulla
>  
>  

Kannst du kurz erklären wie du auf den rechten Teil von 1/4 [mm] *(1,1-1)^T [/mm] kommst ?

Ich habe eigentlich immer meine Rechnungen gepostet


Bezug
                                                                                                                                                                                                                                        
Bezug
Eigenwerte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:57 Mi 11.08.2021
Autor: fred97


> > > [mm]x_1= \begin{pmatrix} -1/8 & 3/8 & 0 \\ 0 & 1/2 & 0 \\ 1/16 & -3/16 & 1/8 \end{pmatrix} * (-2,2,-4)^T/4 [/mm]
>  
> >  

> > >
>  >  > [mm]lambda1 = \bruch{\begin{pmatrix} -1/8 & 3/8 & 0 \\ 0 & 1/2 & 0 \\ 1/16 & -3/16 & 1/8 \end{pmatrix} * (-2,2,-4)^T/4 *Ax1}{x_1^T*x_1}[/mm]

>  
> >  

> > >
>  >  >
>  >  > Wie soll beim zweiten Term der Nenner aussehen?

>  >  > Man ist das alles kompliziert

>  >  
> > Du sollst einfach
>  >  [mm]x_1= \begin{pmatrix} -1/8 & 3/8 & 0 \\ 0 & 1/2 & 0 \\ 1/16 & -3/16 & 1/8  \end{pmatrix} \vektor{-2 \\ 2 \\ -4}*\frac 14 = \frac 14 \vektor{1 \\ 1 \\-1}[/mm]
>  
> >  

> > ausrechnen.
>  >  
> > Ich habe die Zwischenergebnisse, d.h. [mm]B^{-1}[/mm] und [mm]q_1[/mm] nicht
> > nachgerechnet und weiß auch sonst nicht viel über dieses
> > spezielle Thema, aber ganz ehrlich, es ist schon ziemlich
> > schwer dir zu helfen, wenn von dir wirklich gar nichts
> > kommt...
>  >  In diesem Thread zeigst du deine Rechenwege nicht und
> auch
> > sonst ist wenig über deine Ansätze erkennbar.
>  >  
> > Tipp für die Zukunft:
>  >  - Schreib die Original-Aufgabenstellung ab.
>  >  - Beschreibe, was du bisher gemacht hast - inklusive
> > Rechnungen (das mag mühsam sein, aber nur so sieht man, wo
> > du evtl. einen Fehler gemacht hast).
>  >  - Erläutere, wo genau dein Problem ist, bzw. wo du
> > hängst.
>  >  
> > Das ist wirklich nicht böse gemeint, aber einfach eine
> > Aufgabe hinklatschen und hoffen/bitten, dass jemand anderes
> > sie für dich löst funktioniert so leider nicht.
>  >  
> > Lieben Gruß
>  >  Fulla
>  >  
> >  
>
> Kannst du kurz erklären wie du auf den rechten Teil von
> 1/4 [mm]*(1,1-1)^T[/mm] kommst ?

Das ist das Ergebnis des üblichen Matrix-Vektor - Produkts.


>  
> Ich habe eigentlich immer meine Rechnungen gepostet

Nein, das hast Du nicht !

>  


Bezug
                                                                                                                                                                                                                                                
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Eigenwerte: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:58 Mi 11.08.2021
Autor: Leon33

Angela hat ihrem ersten Beitrag gemeint ,dass ich auch lambda1 berechnen soll ?
Wie soll ich das denn dann genau machen ?


Bezug
                                                                                                                                                                                                                                                        
Bezug
Eigenwerte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:12 Mi 11.08.2021
Autor: fred97


> Angela hat ihrem ersten Beitrag gemeint ,dass ich auch
> lambda1 berechnen soll ?
>  Wie soll ich das denn dann genau machen ?

[mm] x_1 [/mm] hast Du schon: [mm] x_1= \frac{1}{4}(1,1,-1)^T [/mm]

Berechne der Reihe nach:

[mm] $Ax_1$, [/mm] dann [mm] $x_1^TAx_1$, [/mm] dann [mm] $x_1^T x_1$ [/mm] und schließlich

    $ [mm] \lambda_1= \frac{x_1^TAx_1}{x_1^Tx_1}.$ [/mm]

>  


Bezug
                                                                                                                                                                                                                                                                
Bezug
Eigenwerte: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:13 Mi 11.08.2021
Autor: Leon33

Könnt ihr mir erklären wie ich das Ax1 überhaupt berechnen soll?

Bezug
                                                                                                                                                                                                                                                                        
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Eigenwerte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:53 Mi 11.08.2021
Autor: angela.h.b.


> Könnt ihr mir erklären wie ich das Ax1 überhaupt
> berechnen soll?

Du nimmst die Matrix A und multiplizierst sie mit dem Vektor [mm] x_1. [/mm] ("Zeile mal Spalte")
Heraus kommt ein Spaltenvektor.

LG Angela

Bezug
                                                                                                                                                                                                                                                                                
Bezug
Eigenwerte: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:18 Do 12.08.2021
Autor: Leon33


> > Könnt ihr mir erklären wie ich das Ax1 überhaupt
>  > berechnen soll?

>  
> Du nimmst die Matrix A und multiplizierst sie mit dem
> Vektor [mm]x_1.[/mm] ("Zeile mal Spalte")
>  Heraus kommt ein Spaltenvektor.
>  
> LG Angela


A*x1 = ( 0,1 ,-3/2 [mm] )^T [/mm]


Da steht ja auch noch Ax1* [mm] x^T [/mm]
Was ist denn dieses [mm] x^T [/mm] ?
[mm] x^T [/mm] = ( 1/4 , 1/4 , -1/4 [mm] )^T [/mm] ?


Bezug
                                                                                                                                                                                                                                                                                        
Bezug
Eigenwerte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:18 Do 12.08.2021
Autor: meili

Hallo Leon33,

> > > Könnt ihr mir erklären wie ich das Ax1 überhaupt
>  >  > berechnen soll?

>  >  
> > Du nimmst die Matrix A und multiplizierst sie mit dem
> > Vektor [mm]x_1.[/mm] ("Zeile mal Spalte")
>  >  Heraus kommt ein Spaltenvektor.
>  >  
> > LG Angela
>
>
> A*x1 = ( 0,1 ,-3/2 [mm])^T[/mm]
>  
>
> Da steht ja auch noch Ax1* [mm]x^T[/mm]
>  Was ist denn dieses [mm]x^T[/mm] ?
>  [mm]x^T[/mm] = ( 1/4 , 1/4 , -1/4 [mm])^T[/mm] ?
>  

Es geht ja jetzt darum den Rayleigh Quotienten $ [mm] \lambda_1= \frac{x_1^TAx_1}{x_1^Tx_1} [/mm] $ zu berechnen.

A ist eine 3x3-Matrix und [mm] $x_1$ [/mm] ein Vektor mit 3 Komponenten.
[mm] $x_1^T$ [/mm] der zu  [mm] $x_1$ [/mm] transponierte Vektor.

Ein Vektor kann man sich auch als Matrix vorstellen mit nur einer Spalte und
einen transponierten Vektor als Matrix mit nur einer Zeile.

Dann muss man im Zähler des Rayleigh Quotienten 2 Matrixmultiplikationen
und im Nenner eine  Matrixmultiplikation ausführen. Das Ergebnis ist
jedesmal eine Zahl (Skalar), die man dann durcheinander dividieren kann.

Bei  [mm] $x_1^TAx_1$ [/mm] ist es egal, ob man zuerst  $A [mm] x_1$ [/mm] multipliziert und anschließend mit [mm] $x_1^T$ [/mm] multipliziert [mm] ($x_1^T [/mm] (A [mm] x_1)$) [/mm] oder
zuerst [mm] $x_1^T [/mm] A$ multipliziert und anschließend mit [mm] $x_1$ [/mm] multipliziert ($ [mm] (x_1^T [/mm] A) [mm] x_1$). [/mm]
(Matrixmultiplikationen sind assoziativ aber im allgemeinen nicht kommutativ)

Gruß
meili

Bezug
                                                                                                                                                                                                                                                                                                
Bezug
Eigenwerte: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:04 Do 12.08.2021
Autor: Leon33

[mm] \lambda1 = \frac{\begin{pmatrix} 1/4 \\ 1/4 \\ -1/4 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -3/2 \end{pmatrix} }{\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -3/2 \end{pmatrix} *\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -3/2 \end{pmatrix} } = 5/8 / 13/4 [/mm]

bekomme diesen Bruch als Ergebnis ?
Kann das stimmen ?
Ich gebe net auf bis die Aufgabe gelöst ist :)
Ich weiss ,dass die anderen schlauer und besser sind ,aber ich will es verstehen

Bezug
                                                                                                                                                                                                                                                                                                        
Bezug
Eigenwerte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:02 Do 12.08.2021
Autor: meili

Hallo Leon33,

> [mm] \lambda1 = \frac{\begin{pmatrix} 1/4 \\ 1/4 \\ -1/4 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -3/2 \end{pmatrix} }{\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -3/2 \end{pmatrix} *\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -3/2 \end{pmatrix} } = 5/8 / 13/4 [/mm]

Im Nenner rechnest du nicht mit [mm] $x_1^T*x_1$. [/mm]

Und ist dir klar, dass du nicht jeweils zwei Vektoren multiplizieren sollst,
sondern einen transponierten Vektor mit einem Vektor?
Auch wenn das Ergebnis das gleiche ist, wie das Skalarprodukt der beiden Vektoren.

Also nochmal den Rayleigh Quotienten $ [mm] \lambda_1= \frac{x_1^TAx_1}{x_1^Tx_1} [/mm] $, aber dieses mal mit den konkreten Zahlen:

[mm] \lambda1 = \frac{\begin{pmatrix} 1/4 & 1/4 & -1/4 \end{pmatrix}* \begin{pmatrix} -6 & 6 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 4 & 0 & 10 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1/4 \\ 1/4 \\ -1/4 \end{pmatrix} }{\begin{pmatrix} 1/4 & 1/4 & -1/4 \end{pmatrix} *\begin{pmatrix} 1/4 \\ 1/4 \\ -1/4 \end{pmatrix} } = \frac{\begin{pmatrix} 1/4 & 1/4 & -1/4 \end{pmatrix}* \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -3/2 \end{pmatrix} }{\begin{pmatrix} 1/4 & 1/4 & -1/4 \end{pmatrix} *\begin{pmatrix} 1/4 \\ 1/4 \\ -1/4 \end{pmatrix} } = \frac{5/8}{3/16} = \frac{5*16}{8*3} = \frac{10}{3} [/mm]

>
> bekomme diesen Bruch als Ergebnis ?
>  Kann das stimmen ?

[mm] $Ax_1 [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} -6 & 6 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 4 & 0 & 10 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 1/4 \\ 1/4 \\ -1/4 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -3/2 \end{pmatrix}$ [/mm]


>  Ich gebe net auf bis die Aufgabe gelöst ist :)

[ok]

>  Ich weiss ,dass die anderen schlauer und besser sind ,aber
> ich will es verstehen

Gruß
meili

Bezug
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                
Bezug
Eigenwerte: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:33 Fr 13.08.2021
Autor: Leon33


> Hallo Leon33,
>  
> > [mm] \lambda1 = \frac{\begin{pmatrix} 1/4 \\ 1/4 \\ -1/4 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -3/2 \end{pmatrix} }{\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -3/2 \end{pmatrix} *\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -3/2 \end{pmatrix} } = 5/8 / 13/4 [/mm]
> Im Nenner rechnest du nicht mit [mm]x_1^T*x_1[/mm].
>  
> Und ist dir klar, dass du nicht jeweils zwei Vektoren
> multiplizieren sollst,
>  sondern einen transponierten Vektor mit einem Vektor?
>  Auch wenn das Ergebnis das gleiche ist, wie das
> Skalarprodukt der beiden Vektoren.
>  
> Also nochmal den Rayleigh Quotienten [mm]\lambda_1= \frac{x_1^TAx_1}{x_1^Tx_1} [/mm],
> aber dieses mal mit den konkreten Zahlen:
>  
> [mm] \lambda1 = \frac{\begin{pmatrix} 1/4 & 1/4 & -1/4 \end{pmatrix}* \begin{pmatrix} -6 & 6 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 4 & 0 & 10 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1/4 \\ 1/4 \\ -1/4 \end{pmatrix} }{\begin{pmatrix} 1/4 & 1/4 & -1/4 \end{pmatrix} *\begin{pmatrix} 1/4 \\ 1/4 \\ -1/4 \end{pmatrix} } = \frac{\begin{pmatrix} 1/4 & 1/4 & -1/4 \end{pmatrix}* \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -3/2 \end{pmatrix} }{\begin{pmatrix} 1/4 & 1/4 & -1/4 \end{pmatrix} *\begin{pmatrix} 1/4 \\ 1/4 \\ -1/4 \end{pmatrix} } = \frac{5/8}{3/16} = \frac{5*16}{8*3} = \frac{10}{3} [/mm]
> >
> > bekomme diesen Bruch als Ergebnis ?
>  >  Kann das stimmen ?
>  [mm]Ax_1 = \begin{pmatrix} -6 & 6 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 4 & 0 & 10 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 1/4 \\ 1/4 \\ -1/4 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -3/2 \end{pmatrix}[/mm]
>  
>
> >  Ich gebe net auf bis die Aufgabe gelöst ist :)

>  [ok]
>  >  Ich weiss ,dass die anderen schlauer und besser sind
> ,aber
> > ich will es verstehen
> Gruß
>  meili

Ah hatte den falschen Vektor auch im Nenner genommen :)

Wisst ihr noch was ich jetzt genau bei der c) machen muss ?

c) Berechnen sie mit dem Ergebnis aus b) eine Annäherung an einen Eigenwert von A.
In welchem der in a) angegebenen Kreis liegt der Eigenwert?

Bezug
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                        
Bezug
Eigenwerte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:42 Fr 13.08.2021
Autor: fred97


> > Hallo Leon33,
>  >  
> > > [mm] \lambda1 = \frac{\begin{pmatrix} 1/4 \\ 1/4 \\ -1/4 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -3/2 \end{pmatrix} }{\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -3/2 \end{pmatrix} *\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -3/2 \end{pmatrix} } = 5/8 / 13/4 [/mm]
> > Im Nenner rechnest du nicht mit [mm]x_1^T*x_1[/mm].
>  >  
> > Und ist dir klar, dass du nicht jeweils zwei Vektoren
> > multiplizieren sollst,
>  >  sondern einen transponierten Vektor mit einem Vektor?
>  >  Auch wenn das Ergebnis das gleiche ist, wie das
> > Skalarprodukt der beiden Vektoren.
>  >  
> > Also nochmal den Rayleigh Quotienten [mm]\lambda_1= \frac{x_1^TAx_1}{x_1^Tx_1} [/mm],
> > aber dieses mal mit den konkreten Zahlen:
>  >  
> > [mm] \lambda1 = \frac{\begin{pmatrix} 1/4 & 1/4 & -1/4 \end{pmatrix}* \begin{pmatrix} -6 & 6 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 4 & 0 & 10 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1/4 \\ 1/4 \\ -1/4 \end{pmatrix} }{\begin{pmatrix} 1/4 & 1/4 & -1/4 \end{pmatrix} *\begin{pmatrix} 1/4 \\ 1/4 \\ -1/4 \end{pmatrix} } = \frac{\begin{pmatrix} 1/4 & 1/4 & -1/4 \end{pmatrix}* \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -3/2 \end{pmatrix} }{\begin{pmatrix} 1/4 & 1/4 & -1/4 \end{pmatrix} *\begin{pmatrix} 1/4 \\ 1/4 \\ -1/4 \end{pmatrix} } = \frac{5/8}{3/16} = \frac{5*16}{8*3} = \frac{10}{3}[/mm]



Das ist richtig.


> > >
> > > bekomme diesen Bruch als Ergebnis ?
>  >  >  Kann das stimmen ?
>  >  [mm]Ax_1 = \begin{pmatrix} -6 & 6 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 4 & 0 & 10 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 1/4 \\ 1/4 \\ -1/4 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -3/2 \end{pmatrix}[/mm]
>  
> >  

> >
> > >  Ich gebe net auf bis die Aufgabe gelöst ist :)

>  >  [ok]
>  >  >  Ich weiss ,dass die anderen schlauer und besser sind
> > ,aber
> > > ich will es verstehen
> > Gruß
>  >  meili
>
> Ah hatte den falschen Vektor auch im Nenner genommen :)
>  
> Wisst ihr noch was ich jetzt genau bei der c) machen muss
> ?
>  
> c) Berechnen sie mit dem Ergebnis aus b) eine Annäherung
> an einen Eigenwert von A.
>  In welchem der in a) angegebenen Kreis liegt der
> Eigenwert?


A hat die Eigenwerte 4,-6 und 10. Somit ist [mm] \frac{10}{3} [/mm] eine erste Näherung an den Eigenwert 4.

Die Gershgorinkreise hast Du doch berechnet !

Dann schau nach in welchem der Kreise das Ding liegt .




Bezug
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                
Bezug
Eigenwerte: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:38 Fr 13.08.2021
Autor: Leon33


> > > Hallo Leon33,
>  >  >  
> > > > [mm] \lambda1 = \frac{\begin{pmatrix} 1/4 \\ 1/4 \\ -1/4 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -3/2 \end{pmatrix} }{\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -3/2 \end{pmatrix} *\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -3/2 \end{pmatrix} } = 5/8 / 13/4 [/mm]
> > > Im Nenner rechnest du nicht mit [mm]x_1^T*x_1[/mm].
>  >  >  
> > > Und ist dir klar, dass du nicht jeweils zwei Vektoren
> > > multiplizieren sollst,
>  >  >  sondern einen transponierten Vektor mit einem
> Vektor?
>  >  >  Auch wenn das Ergebnis das gleiche ist, wie das
> > > Skalarprodukt der beiden Vektoren.
>  >  >  
> > > Also nochmal den Rayleigh Quotienten [mm]\lambda_1= \frac{x_1^TAx_1}{x_1^Tx_1} [/mm],
> > > aber dieses mal mit den konkreten Zahlen:
>  >  >  
> > > [mm] \lambda1 = \frac{\begin{pmatrix} 1/4 & 1/4 & -1/4 \end{pmatrix}* \begin{pmatrix} -6 & 6 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 4 & 0 & 10 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1/4 \\ 1/4 \\ -1/4 \end{pmatrix} }{\begin{pmatrix} 1/4 & 1/4 & -1/4 \end{pmatrix} *\begin{pmatrix} 1/4 \\ 1/4 \\ -1/4 \end{pmatrix} } = \frac{\begin{pmatrix} 1/4 & 1/4 & -1/4 \end{pmatrix}* \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -3/2 \end{pmatrix} }{\begin{pmatrix} 1/4 & 1/4 & -1/4 \end{pmatrix} *\begin{pmatrix} 1/4 \\ 1/4 \\ -1/4 \end{pmatrix} } = \frac{5/8}{3/16} = \frac{5*16}{8*3} = \frac{10}{3}[/mm]
>
>
>
> Das ist richtig.
>  
>
> > > >
> > > > bekomme diesen Bruch als Ergebnis ?
>  >  >  >  Kann das stimmen ?
>  >  >  [mm]Ax_1 = \begin{pmatrix} -6 & 6 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 4 & 0 & 10 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 1/4 \\ 1/4 \\ -1/4 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -3/2 \end{pmatrix}[/mm]
>  
> >  

> > >  

> > >
> > > >  Ich gebe net auf bis die Aufgabe gelöst ist :)

>  >  >  [ok]
>  >  >  >  Ich weiss ,dass die anderen schlauer und besser
> sind
> > > ,aber
> > > > ich will es verstehen
> > > Gruß
>  >  >  meili
> >
> > Ah hatte den falschen Vektor auch im Nenner genommen :)
>  >  
> > Wisst ihr noch was ich jetzt genau bei der c) machen muss
> > ?
>  >  
> > c) Berechnen sie mit dem Ergebnis aus b) eine Annäherung
> > an einen Eigenwert von A.
>  >  In welchem der in a) angegebenen Kreis liegt der
> > Eigenwert?
>
>
> A hat die Eigenwerte 4,-6 und 10. Somit ist [mm]\frac{10}{3}[/mm]
> eine erste Näherung an den Eigenwert 4.
>  
> Die Gershgorinkreise hast Du doch berechnet !
>  
> Dann schau nach in welchem der Kreise das Ding liegt .

Hier zu dieser Frage Fred :)

>  
>
>  


Bezug
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                        
Bezug
Eigenwerte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:02 Sa 14.08.2021
Autor: fred97


> > > > Hallo Leon33,
>  >  >  >  
> > > > > [mm] \lambda1 = \frac{\begin{pmatrix} 1/4 \\ 1/4 \\ -1/4 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -3/2 \end{pmatrix} }{\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -3/2 \end{pmatrix} *\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -3/2 \end{pmatrix} } = 5/8 / 13/4 [/mm]
> > > > Im Nenner rechnest du nicht mit [mm]x_1^T*x_1[/mm].
>  >  >  >  
> > > > Und ist dir klar, dass du nicht jeweils zwei Vektoren
> > > > multiplizieren sollst,
>  >  >  >  sondern einen transponierten Vektor mit einem
> > Vektor?
>  >  >  >  Auch wenn das Ergebnis das gleiche ist, wie das
> > > > Skalarprodukt der beiden Vektoren.
>  >  >  >  
> > > > Also nochmal den Rayleigh Quotienten [mm]\lambda_1= \frac{x_1^TAx_1}{x_1^Tx_1} [/mm],
> > > > aber dieses mal mit den konkreten Zahlen:
>  >  >  >  
> > > > [mm] \lambda1 = \frac{\begin{pmatrix} 1/4 & 1/4 & -1/4 \end{pmatrix}* \begin{pmatrix} -6 & 6 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 4 & 0 & 10 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1/4 \\ 1/4 \\ -1/4 \end{pmatrix} }{\begin{pmatrix} 1/4 & 1/4 & -1/4 \end{pmatrix} *\begin{pmatrix} 1/4 \\ 1/4 \\ -1/4 \end{pmatrix} } = \frac{\begin{pmatrix} 1/4 & 1/4 & -1/4 \end{pmatrix}* \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -3/2 \end{pmatrix} }{\begin{pmatrix} 1/4 & 1/4 & -1/4 \end{pmatrix} *\begin{pmatrix} 1/4 \\ 1/4 \\ -1/4 \end{pmatrix} } = \frac{5/8}{3/16} = \frac{5*16}{8*3} = \frac{10}{3}[/mm]
> >
> >
> >
> > Das ist richtig.
>  >  
> >
> > > > >
> > > > > bekomme diesen Bruch als Ergebnis ?
>  >  >  >  >  Kann das stimmen ?
>  >  >  >  [mm]Ax_1 = \begin{pmatrix} -6 & 6 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 4 & 0 & 10 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 1/4 \\ 1/4 \\ -1/4 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -3/2 \end{pmatrix}[/mm]
>  
> >  

> > >  

> > > >  

> > > >
> > > > >  Ich gebe net auf bis die Aufgabe gelöst ist :)

>  >  >  >  [ok]
>  >  >  >  >  Ich weiss ,dass die anderen schlauer und
> besser
> > sind
> > > > ,aber
> > > > > ich will es verstehen
> > > > Gruß
>  >  >  >  meili
> > >
> > > Ah hatte den falschen Vektor auch im Nenner genommen :)
>  >  >  
> > > Wisst ihr noch was ich jetzt genau bei der c) machen muss
> > > ?
>  >  >  
> > > c) Berechnen sie mit dem Ergebnis aus b) eine Annäherung
> > > an einen Eigenwert von A.
>  >  >  In welchem der in a) angegebenen Kreis liegt der
> > > Eigenwert?
> >
> >
> > A hat die Eigenwerte 4,-6 und 10. Somit ist [mm]\frac{10}{3}[/mm]
> > eine erste Näherung an den Eigenwert 4.
>  >  
> > Die Gershgorinkreise hast Du doch berechnet !
>  >  
> > Dann schau nach in welchem der Kreise das Ding liegt .
>  Hier zu dieser Frage Fred :)
>  >  

Das verstehe wer will

> >
> >  

>  


Bezug
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                        
Bezug
Eigenwerte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:08 So 15.08.2021
Autor: HJKweseleit

[mm] \begin{pmatrix} -6 & 6 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 4 & 0 & 10 \end{pmatrix} [/mm]


> c) Berechnen sie mit dem Ergebnis aus b) eine Annäherung
> an einen Eigenwert von A.
>  In welchem der in a) angegebenen Kreis liegt der
> Eigenwert?

Mit den Radien aus den Zeilen ergeben sich die Bereiche

[mm] -6\pm [/mm] 6
[mm] 4\pm [/mm] 0 und
10 [mm] \pm [/mm] 4.

10/3 = 3+1/3 liegt aber in keinem der Bereiche.

Nimmst du jetzt noch die durch die Spaltenvektoren erzeugten Radien hinzu, erhältst du

-6 [mm] \pm [/mm] 4
4 [mm] \pm [/mm] 6 und
10 [mm] \pm [/mm] 0.

Damit liegt 10/3 in 4 [mm] \pm [/mm] 6, gehört also zum Eigenwert 4.

Bezug
                                                                                                                                                                                                                                                                        
Bezug
Eigenwerte: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:53 Mi 11.08.2021
Autor: Fulla

Ich frage mich tatsächlich, wie man im Studium bei diesem speziellen Thema angekommen sein kann, aber keine Ahnung hat, wie man eine Matrix mit einem Vektor multipliziert...

Das soll kein Angriff auf dich sein, Leon, ich wundere mich nur.

Ich kenne es aus dem Studium halt so, dass wenn Matizen eingeführt werden, dass man dann auch lernt, wie man damit arbeitet.

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Eigenwerte: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:06 Do 12.08.2021
Autor: Leon33

Es wurde ganz ehrlich ausgenutzt ,dass wir covid haben und gar nix gelehrt .
Du kannst dir den Unterricht wie ohne Vorlesung vorstellen :)
Ich bin nicht so schlau um alles selbst zu lernen

Bezug
                        
Bezug
Eigenwerte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:53 So 08.08.2021
Autor: HJKweseleit

Wenn du von den Zeilen zu den Spalten übergehst, kannst du die Radien noch weiter einschränken:

> a)
>  
> [mm]A=\begin{pmatrix} -6 & 6 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 4 & 0 & 10 \end{pmatrix} [/mm]
>  
> K1:
>  Mittelpunkt m1 = -6
>  von allem Betrag
>  r1 = 6+0 = 6

oder r1 =0+4=4<6

>
> K2 = Mittelpunkt m2 = 4
>  
> r2 =0+0= 0

oder r2 = 6+0=6>0, also nehmen wir den kleineren Wert 0

>  
> K3 m3 =10
>  
> r3 = 4+0= 4

oder r3 = 0+0=0<4

Somit sind schon 4 und 10 wegen Radius 0 als Eigenwerte festgestellt, der dritte liegt zwischen -2 und -10 einschließlich.


Bezug
                        
Bezug
Eigenwerte: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:48 Fr 13.08.2021
Autor: Leon33


> a)
>  
> [mm]A=\begin{pmatrix} -6 & 6 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 4 & 0 & 10 \end{pmatrix} [/mm]
>  
> K1:
>  Mittelpunkt m1 = -6
>  von allem Betrag
>  r1 = 6+0 = 6
>
> K2 = Mittelpunkt m2 = 4
>  
> r2 = 0 + 0 = 0
>  
> K3 m3 =10
>  
> r3 = 4+0 =4
>  
>

Woher weiss ich wo das liegt Fred ?

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Bezug
Eigenwerte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:22 Fr 13.08.2021
Autor: fred97


> > a)
>  >  
> > [mm]A=\begin{pmatrix} -6 & 6 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 4 & 0 & 10 \end{pmatrix} [/mm]
>  
> >  

> > K1:
>  >  Mittelpunkt m1 = -6
>  >  von allem Betrag
>  >  r1 = 6+0 = 6
> >
> > K2 = Mittelpunkt m2 = 4
>  >  
> > r2 = 0 + 0 = 0
>  >  
> > K3 m3 =10
>  >  
> > r3 = 4+0 =4
>  >  
> >
> Woher weiss ich wo das liegt Fred ?

Ich verstehe Deine Frage nicht. Wo was liegt ?

Ich weiß wo Rio liegt oder auch Untergrombach.

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Eigenwerte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:46 So 15.08.2021
Autor: HJKweseleit


> > a)
>  >  
> > [mm]A=\begin{pmatrix} -6 & 6 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 4 & 0 & 10 \end{pmatrix} [/mm]

Der erste Diagonalenwert -6 gibt dir den Mittelpunkt des Gerschgorin-Kreises an. Aus der 1. Zeile bekommst du dann |6|+|0| =6 als Radius. Der Eigenwert - falls reell - liegt also in [-12|0].
Stattdessen kannst du aber die 1. Spalte nehmen: |4|+|0| =4 als Radius. Dadurch engst du den Spielraum für den Eigenwert ein. Er liegt - falls reell -  in [-10|-2].

Für den zweiten Diagonalwert hast du 4 mit Radius 0. Er muss also 4 sein. Bei der Spalte wäre der Radius 6, dann wüsstest du nur, dass der Eigenwert in [-2|10] liegt. Also bleibst du hier beim "Zeilenradius" 0. Damit muss der Eigenwert 4 sein.

Für den dritten Diagonalwert hast du 10 mit Radius 4. Der Eigenwert liegt somit in [6|14]. Bei der Spalte ist der Radius 0, daher ist der Eigenwert 10.

Somit hast du schon 2 von 3 Eigenwerten sofort gefunden.


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