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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:50 So 13.07.2008 | | Autor: | zu1u |
| Aufgabe | A=(2 -2 0 0; 1 1 0 0; 0 0 -1 3; 0 0 -3 1)
Berechne die Matrixnorm [mm] ||A||_2
[/mm]
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Ich weiss das ich fuer die Norm die Eigenwerte von [mm] A^T*A [/mm] berechnen muss.
In der Musterloesung zu der Aufgabe sind aber nur die Eigenwerte angegeben... und schliesslich die Norm.
Ich habe jetzt versucht sie per Hand zu berechnen. Ich kenne nur die Methode ueber das char. Polynom und die Nullstellen dessen, aber das war in diesem Fall nicht ganz so einfach wie ich mir das erhofft haette.
Kann man in dem Fall die Eigenwerte irgendwie schneller berechnen? Da auch kein weiterer Loesungsweg auf meiner Musteroesung gegeben ist!?
danke schonmal fuer Tips!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> [mm] A=\vmat{2 &-2&0 &0\\ 1 &1 &0& 0\\ 0 &0& -1& 3\\ 0& 0& -3 &1}
[/mm]
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> Berechne die Matrixnorm [mm]||A||_2[/mm]
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> Ich weiss das ich fuer die Norm die Eigenwerte von [mm]A^T*A[/mm]
> berechnen muss.
> In der Musterloesung zu der Aufgabe sind aber nur die
> Eigenwerte angegeben... und schliesslich die Norm.
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> Ich habe jetzt versucht sie per Hand zu berechnen. Ich
> kenne nur die Methode ueber das char. Polynom und die
> Nullstellen dessen, aber das war in diesem Fall nicht ganz
> so einfach wie ich mir das erhofft haette.
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> Kann man in dem Fall die Eigenwerte irgendwie schneller
> berechnen?
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Richtige Tricks habe ich auch nicht auf Lager, und ich weiß natürlich nicht, wie Du bisher gerechnet hast.
Was man sieht, ist, daß A eine Blockdiagonalmatrix [mm] \pmat{ B & 0 \\ 0 & C }ist, [/mm] es ist also [mm] \pmat{ B & 0 \\ 0 & C }*\pmat{ B^{T} & 0 \\ 0 & C^{T}} [/mm] zu berechnen, dh. nur 2 Multiplikationen von 2x2-Matrizen. (= [mm] \pmat{ BB^{T} & 0 \\ 0 & CC^{T}}.
[/mm]
Nun das charakteristische Polynom. Hierfür brauchst Du
det [mm] (\pmat{ BB^{T}-xE_2 & 0 \\ 0 & CC^{T}-xE_2}) [/mm] und auch das ist doch recht übersichtlich: [mm] ...=det(BB^{T}-xE_2)*det(CC^{T}-xE_2).
[/mm]
Gruß v. Angela
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