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Forum "Lineare Abbildungen" - Eigenwert einer Matrix

Eigenwert einer Matrix < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe

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Eigenwert einer Matrix: Frage (beantwortet)

Status:	(Frage) beantwortet
Datum:	18:40 Mo 16.01.2012
Autor:	durden88

Aufgabe

 Bestimme den Eigenwert: [mm] \pmat{ 1 & 4&-3 \\ 2 & 5&-4\\3&9&-7 } [/mm] 

So hallo, also ich habe zuvor das charakteristische Polynom ausgerechnet, welches [mm] \lambda=2 [/mm] war und habe es eingesetzt und die oben stehende Matrix ist das Endprodukt. So nun gilt ja: [mm] (A-\lambda E)\vec{v}=\vec{0} [/mm]

Ich habe dann 4*I+-3*II und 7*I+-3*III gerechnet und es kam raus:

[mm] \vmat{ 1 & 4&-3 \\ -2 & 1&0 \\-2&1&0 } [/mm]
und yes die zwei letzten Spalten sind identisch: Eine wird gestrichen.

Danach hab ich 2II+2*I und die oberste Spalte durch 3 dividiert:

[mm] \vmat{ 0 & 3&-2 \\ -2 & 1&0 } [/mm]

Jetzt hab ich da sone schöne Treppe und weil zwei Therma von drei Variablen abhängig sind, setze ich [mm] x_1=t, [/mm] sodass [mm] x_2=2t [/mm] und [mm] x_3=3t [/mm] ist.

Mein Ergebniss lautet somit [mm] Eig(A,\lambda=2)=t\vektor{1 \\ 2\\3} [/mm]

Sieht für mich recht gut aus oder?

Bezug

Eigenwert einer Matrix: Antwort

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	18:56 Mo 16.01.2012
Autor:	Adamantin

> Bestimme den Eigenwert: [mm]\pmat{ 1 & 4&-3 \\ 2 & 5&-4\\3&9&-7 }[/mm]
>
> So hallo, also ich habe zuvor das charakteristische Polynom
> ausgerechnet, welches [mm]\lambda=2[/mm] war und habe es eingesetzt
> und die oben stehende Matrix ist das Endprodukt. So nun
> gilt ja: [mm](A-\lambda E)\vec{v}=\vec{0}[/mm]

>
> Ich habe dann 4*I+-3*II und 7*I+-3*III gerechnet und es kam
> raus:

Warum auch immer du als erster Mensch in meinem Leben den Gauß-Algorithmus auf die rechte Seite anwendest, normalerweise beginnt man von links. Sprich in der ersten Spalte stehen 1 und 2, also hättest du II-2*I rechnen können, oder? Aber jedem das Seine ;)

>
> [mm]\vmat{ 1 & 4&-3 \\ -2 & 1&0 \\-2&1&0 }[/mm]
>  und yes die zwei
> letzten Spalten sind identisch: Eine wird gestrichen.

>
> Danach hab ich 2II+2*I und die oberste Spalte durch 3
> dividiert:

um gottes Willen bitte das nächste Mal einfach II+2*I....aber es stimmt

>
> [mm]\vmat{ 0 & 3&-2 \\ -2 & 1&0 }[/mm]
>
> Jetzt hab ich da sone schöne Treppe und weil zwei Therma
> von drei Variablen abhängig sind, setze ich [mm]x_1=t,[/mm] sodass
> [mm]x_2=2t[/mm] und [mm]x_3=3t[/mm] ist.

Wo ist da eine Treppe? Nach oben....normalerweise versucht man die Pyramide von oben nach unten zu erhalten, weshalb ich dir auch zu II-2*I geraten habe ;)

>
> Mein Ergebniss lautet somit [mm]Eig(A,\lambda=2)=t\vektor{1 \\ 2\\3}[/mm]
>
> Sieht für mich recht gut aus oder?

aber es stimmt und das ist die Hauptsache