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Forum "Lineare Algebra - Eigenwerte" - Eigenwert berechnen
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Eigenwert berechnen: Berechnung Eigenwert
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:24 Do 24.05.2012
Autor: Masseltof

Aufgabe
1) Bestimmen Sie die Eigenwerte  und Eigenvektoren von
[mm] A=\pmat{-6&9\\-21&24} [/mm]

2)Bestimmen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren  [mm] \lambda_{j}, v_{j} [/mm] j=1,2,3 von
[mm] A=\pmat{1&0&-1\\0&1&-1\\-1&-1&2} [/mm]


Guten Abend.

Die oben aufgeführte Aufgabe wollte ich folgendermaßen lösen:

[mm] det(A-\lambdaE)=0 [/mm]

1)det( [mm] A-\lambdaE)=\vmat{-6-\lambda&9\\-21&24-\lambda}=\lambda^{2}-18\lambda+45 [/mm]

p/q-Formel: [mm] \lambda_{1}=9+6=15 [/mm]
                   [mm] \lambda_{2}=9-6=3 [/mm]

Für den Eigenvektor erhalte ich folgende Gleichung:
[mm] (A-\lambda*E)*x=0 [/mm]

Für 15:
[mm] \pmat{-21&9\\-21&9}*\vektor{x_{1}\\x_{2}}=0 [/mm]

Also [mm] 21x_{1}=9x_{2} [/mm] -> [mm] \frac{7}{3}x_{1}=x_{2} [/mm]

Für 3:
[mm] \pmat{-9&9\\-21&21}*v_{2} [/mm]
[mm] -x_{1}=x_{2} [/mm]

2)Berechnung der Determinante führt zu:
[mm] (1-\lambda)(1-\lambda)(2-\lambda)-(1-\lambda)-(1-\lambda)=(1-\lambda)((1-\lambda)(2-\lambda)-2) [/mm]
[mm] \lambda_{1}=0 [/mm]
[mm] \lambda_{2}=1 [/mm]
[mm] \lambda_{3}=3 [/mm]

Für [mm] \lambda_{1}=0 [/mm] gilt [mm] x_{1}=x_{2}=x_{3} [/mm] für den Eigenvektor.
[mm] (A-\lambda [/mm] E)*x=0 -> A * x= 0

Für [mm] \lambda_{2}=1 [/mm] gilt [mm] 0.5x_{1}=x_{2}=x_{3} [/mm]
[mm] (A-\lambda E)=\pmat{2&0&-1\\0&2&-1&\\-1&-1&3} [/mm]

Für [mm] \lambda_{3}=3 [/mm] gilt [mm] \frac{1}{4}x_{1}=x_{2}=x_{3} [/mm]

Über eine Kontrolle würde ich mich freuen.
Grüße

        
Bezug
Eigenwert berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:49 Do 24.05.2012
Autor: meili

Hallo,
> 1) Bestimmen Sie die Eigenwerte  und Eigenvektoren von
>  [mm]A=\pmat{-6&9\\-21&24}[/mm]
>  
> 2)Bestimmen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren  
> [mm]\lambda_{j}, v_{j}[/mm] j=1,2,3 von
>  [mm]A=\pmat{1&0&-1\\0&1&-1\\-1&-1&2}[/mm]
>  
> Guten Abend.
>  
> Die oben aufgeführte Aufgabe wollte ich folgendermaßen
> lösen:
>  
> [mm]det(A-\lambdaE)=0[/mm]
>  
> 1)det(
> [mm]A-\lambdaE)=\vmat{-6-\lambda&9\\-21&24-\lambda}=\lambda^{2}-18\lambda+45[/mm]
>  
> p/q-Formel: [mm]\lambda_{1}=9+6=15[/mm]
>                     [mm]\lambda_{2}=9-6=3[/mm]

[ok]

>  
> Für den Eigenvektor erhalte ich folgende Gleichung:
>  [mm](A-\lambda*E)*x=0[/mm]
>
> Für 15:
>  [mm]\pmat{-21&9\\-21&9}*\vektor{x_{1}\\x_{2}}=0[/mm]
>  
> Also [mm]21x_{1}=9x_{2}[/mm] -> [mm]\frac{7}{3}x_{1}=x_{2}[/mm]
>  

[ok]
Hier könntest Du noch konkret einen Eigenvektor bzw. den Eigenraum
angeben.

> Für 3:
>  [mm]\pmat{-9&9\\-21&21}*v_{2}[/mm]

>  [mm]-x_{1}=x_{2}[/mm]

[notok]
[mm]x_{1}=x_{2}[/mm]

>  
> 2)Berechnung der Determinante führt zu:
>  
> [mm](1-\lambda)(1-\lambda)(2-\lambda)-(1-\lambda)-(1-\lambda)=(1-\lambda)((1-\lambda)(2-\lambda)-2)[/mm]
>  [mm]\lambda_{1}=0[/mm]
>  [mm]\lambda_{2}=1[/mm]
>  [mm]\lambda_{3}=3[/mm]

[ok]

>  
> Für [mm]\lambda_{1}=0[/mm] gilt [mm]x_{1}=x_{2}=x_{3}[/mm] für den
> Eigenvektor.
>  [mm](A-\lambda[/mm] E)*x=0 -> A * x= 0

[ok]

>  
> Für [mm]\lambda_{2}=1[/mm] gilt [mm]0.5x_{1}=x_{2}=x_{3}[/mm]
>  [mm](A-\lambda E)=\pmat{2&0&-1\\0&2&-1&\\-1&-1&3}[/mm]

[notok]
  [mm](A-\lambda E)=\pmat{0&0&-1\\0&0&-1&\\-1&-1&2}[/mm]
[mm] $x_1=-x_2, [/mm] \ [mm] x_3=0$ [/mm]

>  
> Für [mm]\lambda_{3}=3[/mm] gilt [mm]\frac{1}{4}x_{1}=x_{2}=x_{3}[/mm]

[notok]
[mm](A-\lambda E)=\pmat{-2&0&-1\\0&-2&-1&\\-1&-1&-1}[/mm]
[mm] $x_1=x_2=-\bruch{1}{2}x_3$ [/mm]

>  
> Über eine Kontrolle würde ich mich freuen.
>  Grüße

Gruß
meili

Bezug
                
Bezug
Eigenwert berechnen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:01 Do 24.05.2012
Autor: Masseltof

Danke für die Kontrolle.

Es war wirklich spät gestern. Was für Fehler....


Grüße

Bezug
                
Bezug
Eigenwert berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:30 Do 24.05.2012
Autor: Masseltof

Hallo, nochmals.

Müsste für [mm] \lambda_{2}=1 [/mm] für [mm] a_{33} [/mm] in der Matrix nicht eine 1 stehen statt der 2?
Somit würde ich auf [mm] x_{3}=0 [/mm] , [mm] x_{2}=x_{1}+1 [/mm] kommen.

Grüße

Bezug
                        
Bezug
Eigenwert berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:25 Do 24.05.2012
Autor: angela.h.b.


> Hallo, nochmals.
>  
> Müsste für [mm]\lambda_{2}=1[/mm] für [mm]a_{33}[/mm] in der Matrix nicht
> eine 1 stehen statt der 2?

Hallo,

ja, ein Tippfehler.

Es ist A-1*E=$ [mm] (A-\lambda E)=\pmat{0&0&-1\\0&0&-1&\\-1&-1&1} [/mm] $


>  Somit würde ich auf [mm]x_{3}=0[/mm] , [mm]x_{2}=x_{1}+1[/mm] kommen.

Das klingt abenteuerlich...

Ogottogott! Ich ahne ganz diffus, was Dir passiert ist...

Achtung, Achtung:
Du möchtest das homogene LGS  (A-1*E)*x=0 lösen  für die Bestimmung der Basis eines Eigenraumes.
Nicht etwa irgendein inhomogenes System.

Die Matrix

[mm] \pmat{0&0&-1\\0&0&-1&\\-1&-1&1} [/mm] --> [mm] \pmat{-1&-1&1\\0&0&-1\\0&0&0} [/mm] (ZSF)

steht für das homogene  LGS

[mm] -x_1-x_2-x_3=0 [/mm]
[mm] -x_3=0 [/mm]
0=0.

LG Angela


Bezug
                                
Bezug
Eigenwert berechnen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:54 Do 24.05.2012
Autor: Masseltof

Hallo und danke für die Antwort.

Ich weiß gerade selbst nicht,w as ich gemacht habe :D

Grüße

Bezug
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