www.vorhilfe.de
- Förderverein -
Der Förderverein.

Gemeinnütziger Verein zur Finanzierung des Projekts Vorhilfe.de.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Mitglieder · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status VH e.V.
  Status Vereinsforum

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Suchen
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Lineare Algebra - Eigenwerte" - Eigenwert berechnen
Eigenwert berechnen < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra - Eigenwerte"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Eigenwert berechnen: Berechnung Eigenwert
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:24 Do 24.05.2012
Autor: Masseltof

Aufgabe
1) Bestimmen Sie die Eigenwerte  und Eigenvektoren von
[mm] A=\pmat{-6&9\\-21&24} [/mm]

2)Bestimmen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren  [mm] \lambda_{j}, v_{j} [/mm] j=1,2,3 von
[mm] A=\pmat{1&0&-1\\0&1&-1\\-1&-1&2} [/mm]


Guten Abend.

Die oben aufgeführte Aufgabe wollte ich folgendermaßen lösen:

[mm] det(A-\lambdaE)=0 [/mm]

1)det( [mm] A-\lambdaE)=\vmat{-6-\lambda&9\\-21&24-\lambda}=\lambda^{2}-18\lambda+45 [/mm]

p/q-Formel: [mm] \lambda_{1}=9+6=15 [/mm]
                   [mm] \lambda_{2}=9-6=3 [/mm]

Für den Eigenvektor erhalte ich folgende Gleichung:
[mm] (A-\lambda*E)*x=0 [/mm]

Für 15:
[mm] \pmat{-21&9\\-21&9}*\vektor{x_{1}\\x_{2}}=0 [/mm]

Also [mm] 21x_{1}=9x_{2} [/mm] -> [mm] \frac{7}{3}x_{1}=x_{2} [/mm]

Für 3:
[mm] \pmat{-9&9\\-21&21}*v_{2} [/mm]
[mm] -x_{1}=x_{2} [/mm]

2)Berechnung der Determinante führt zu:
[mm] (1-\lambda)(1-\lambda)(2-\lambda)-(1-\lambda)-(1-\lambda)=(1-\lambda)((1-\lambda)(2-\lambda)-2) [/mm]
[mm] \lambda_{1}=0 [/mm]
[mm] \lambda_{2}=1 [/mm]
[mm] \lambda_{3}=3 [/mm]

Für [mm] \lambda_{1}=0 [/mm] gilt [mm] x_{1}=x_{2}=x_{3} [/mm] für den Eigenvektor.
[mm] (A-\lambda [/mm] E)*x=0 -> A * x= 0

Für [mm] \lambda_{2}=1 [/mm] gilt [mm] 0.5x_{1}=x_{2}=x_{3} [/mm]
[mm] (A-\lambda E)=\pmat{2&0&-1\\0&2&-1&\\-1&-1&3} [/mm]

Für [mm] \lambda_{3}=3 [/mm] gilt [mm] \frac{1}{4}x_{1}=x_{2}=x_{3} [/mm]

Über eine Kontrolle würde ich mich freuen.
Grüße

        
Bezug
Eigenwert berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:49 Do 24.05.2012
Autor: meili

Hallo,
> 1) Bestimmen Sie die Eigenwerte  und Eigenvektoren von
>  [mm]A=\pmat{-6&9\\-21&24}[/mm]
>  
> 2)Bestimmen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren  
> [mm]\lambda_{j}, v_{j}[/mm] j=1,2,3 von
>  [mm]A=\pmat{1&0&-1\\0&1&-1\\-1&-1&2}[/mm]
>  
> Guten Abend.
>  
> Die oben aufgeführte Aufgabe wollte ich folgendermaßen
> lösen:
>  
> [mm]det(A-\lambdaE)=0[/mm]
>  
> 1)det(
> [mm]A-\lambdaE)=\vmat{-6-\lambda&9\\-21&24-\lambda}=\lambda^{2}-18\lambda+45[/mm]
>  
> p/q-Formel: [mm]\lambda_{1}=9+6=15[/mm]
>                     [mm]\lambda_{2}=9-6=3[/mm]

[ok]

>  
> Für den Eigenvektor erhalte ich folgende Gleichung:
>  [mm](A-\lambda*E)*x=0[/mm]
>
> Für 15:
>  [mm]\pmat{-21&9\\-21&9}*\vektor{x_{1}\\x_{2}}=0[/mm]
>  
> Also [mm]21x_{1}=9x_{2}[/mm] -> [mm]\frac{7}{3}x_{1}=x_{2}[/mm]
>  

[ok]
Hier könntest Du noch konkret einen Eigenvektor bzw. den Eigenraum
angeben.

> Für 3:
>  [mm]\pmat{-9&9\\-21&21}*v_{2}[/mm]

>  [mm]-x_{1}=x_{2}[/mm]

[notok]
[mm]x_{1}=x_{2}[/mm]

>  
> 2)Berechnung der Determinante führt zu:
>  
> [mm](1-\lambda)(1-\lambda)(2-\lambda)-(1-\lambda)-(1-\lambda)=(1-\lambda)((1-\lambda)(2-\lambda)-2)[/mm]
>  [mm]\lambda_{1}=0[/mm]
>  [mm]\lambda_{2}=1[/mm]
>  [mm]\lambda_{3}=3[/mm]

[ok]

>  
> Für [mm]\lambda_{1}=0[/mm] gilt [mm]x_{1}=x_{2}=x_{3}[/mm] für den
> Eigenvektor.
>  [mm](A-\lambda[/mm] E)*x=0 -> A * x= 0

[ok]

>  
> Für [mm]\lambda_{2}=1[/mm] gilt [mm]0.5x_{1}=x_{2}=x_{3}[/mm]
>  [mm](A-\lambda E)=\pmat{2&0&-1\\0&2&-1&\\-1&-1&3}[/mm]

[notok]
  [mm](A-\lambda E)=\pmat{0&0&-1\\0&0&-1&\\-1&-1&2}[/mm]
[mm] $x_1=-x_2, [/mm] \ [mm] x_3=0$ [/mm]

>  
> Für [mm]\lambda_{3}=3[/mm] gilt [mm]\frac{1}{4}x_{1}=x_{2}=x_{3}[/mm]

[notok]
[mm](A-\lambda E)=\pmat{-2&0&-1\\0&-2&-1&\\-1&-1&-1}[/mm]
[mm] $x_1=x_2=-\bruch{1}{2}x_3$ [/mm]

>  
> Über eine Kontrolle würde ich mich freuen.
>  Grüße

Gruß
meili

Bezug
                
Bezug
Eigenwert berechnen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:01 Do 24.05.2012
Autor: Masseltof

Danke für die Kontrolle.

Es war wirklich spät gestern. Was für Fehler....


Grüße

Bezug
                
Bezug
Eigenwert berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:30 Do 24.05.2012
Autor: Masseltof

Hallo, nochmals.

Müsste für [mm] \lambda_{2}=1 [/mm] für [mm] a_{33} [/mm] in der Matrix nicht eine 1 stehen statt der 2?
Somit würde ich auf [mm] x_{3}=0 [/mm] , [mm] x_{2}=x_{1}+1 [/mm] kommen.

Grüße

Bezug
                        
Bezug
Eigenwert berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:25 Do 24.05.2012
Autor: angela.h.b.


> Hallo, nochmals.
>  
> Müsste für [mm]\lambda_{2}=1[/mm] für [mm]a_{33}[/mm] in der Matrix nicht
> eine 1 stehen statt der 2?

Hallo,

ja, ein Tippfehler.

Es ist A-1*E=$ [mm] (A-\lambda E)=\pmat{0&0&-1\\0&0&-1&\\-1&-1&1} [/mm] $


>  Somit würde ich auf [mm]x_{3}=0[/mm] , [mm]x_{2}=x_{1}+1[/mm] kommen.

Das klingt abenteuerlich...

Ogottogott! Ich ahne ganz diffus, was Dir passiert ist...

Achtung, Achtung:
Du möchtest das homogene LGS  (A-1*E)*x=0 lösen  für die Bestimmung der Basis eines Eigenraumes.
Nicht etwa irgendein inhomogenes System.

Die Matrix

[mm] \pmat{0&0&-1\\0&0&-1&\\-1&-1&1} [/mm] --> [mm] \pmat{-1&-1&1\\0&0&-1\\0&0&0} [/mm] (ZSF)

steht für das homogene  LGS

[mm] -x_1-x_2-x_3=0 [/mm]
[mm] -x_3=0 [/mm]
0=0.

LG Angela


Bezug
                                
Bezug
Eigenwert berechnen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:54 Do 24.05.2012
Autor: Masseltof

Hallo und danke für die Antwort.

Ich weiß gerade selbst nicht,w as ich gemacht habe :D

Grüße

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra - Eigenwerte"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
ev.vorhilfe.de
[ Startseite | Mitglieder | Impressum ]