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| Aufgabe | Gegeben sei folgende Funktion:
f (x, y)= [mm] x^3 [/mm] + [mm] x^2 [/mm] − 6xy + [mm] y^2 [/mm] + x + 4y
Bestimmen Sie alle kritischen Punkte und jeweils deren Charakteristika (lokales Maximum,
lokales Minimum, Sattelpunkt?). |
Hi,
erst mal ist f 2 stetig differenzierbar.
mit [mm] f'(x,y)=\pmat{ 3x^2+2x-6y+1 \\ -6y+2x+4}
[/mm]
und [mm] Hf(x,y)=\pmat{ 6x+2 & -6 \\ -6 & 2 }
[/mm]
und den kritischen Punkten (1,1) und [mm] (\frac{13}{3},11)
[/mm]
Jetzt will ich die Eigenwerte der Hessematrix rausbekommen:
[mm] det(Hf(x,y)-\lambda [/mm] E)=0
<=> [mm] (6x+2-\lambda)(2-\lambda)-36=0
[/mm]
[mm] <=>12x-6x\lambda +4-2\lambda -2\lambda +\lambda^2 [/mm] -36=0
[mm] <=>\lambda^2-(4-6x)\lambda [/mm] +12x-32=0
=> [mm] \lambda_{1,2} [/mm] = 2+3x [mm] \pm \sqrt{4+12x+9x^2-12x+32} [/mm] = [mm] 2+3x\pm\sqrt{9x^2+36}
[/mm]
habe ich soweit schon Fehler, wenn nicht, wie löse ich die Wurzel auf?
Gruß Snafu
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:38 Mi 15.12.2010 | | Autor: | fred97 |
> Gegeben sei folgende Funktion:
> f (x, y)= [mm]x^3[/mm] + [mm]x^2[/mm] − 6xy + [mm]y^2[/mm] + x + 4y
> Bestimmen Sie alle kritischen Punkte und jeweils deren
> Charakteristika (lokales Maximum,
> lokales Minimum, Sattelpunkt?).
> Hi,
>
> erst mal ist f 2 stetig differenzierbar.
> mit [mm]f'(x,y)=\pmat{ 3x^2+2x-6y+1 \\ -6y+2x+4}[/mm]
Das stimmt nicht.
Es ist
[mm]f'(x,y)=\pmat{ 3x^2+2x-6y+1 \\ -6x+2y+4}[/mm]
FRED
> und
> [mm]Hf(x,y)=\pmat{ 6x+2 & -6 \\ -6 & 2 }[/mm]
> und den kritischen
> Punkten (1,1) und [mm](\frac{13}{3},11)[/mm]
> Jetzt will ich die Eigenwerte der Hessematrix
> rausbekommen:
> [mm]det(Hf(x,y)-\lambda[/mm] E)=0
> <=> [mm](6x+2-\lambda)(2-\lambda)-36=0[/mm]
> [mm]<=>12x-6x\lambda +4-2\lambda -2\lambda +\lambda^2[/mm] -36=0
> [mm]<=>\lambda^2-(4-6x)\lambda[/mm] +12x-32=0
> => [mm]\lambda_{1,2}[/mm] = 2+3x [mm]\pm \sqrt{4+12x+9x^2-12x+32}[/mm] =
> [mm]2+3x\pm\sqrt{9x^2+36}[/mm]
> habe ich soweit schon Fehler, wenn nicht, wie löse ich
> die Wurzel auf?
>
> Gruß Snafu
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:52 Mi 15.12.2010 | | Autor: | SnafuBernd |
Hi,
da habe ich mich vertippt, die weitere Rechnung ist mit der richtigen Ableitung gemacht.
Gruß Snafu
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