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| Aufgabe | | Seien $K$ ein Körper, [mm] $n\in\IN_{0}$ [/mm] und [mm] $A,B\in K^{n\times n}$ [/mm] mit $AB=BA$. Das charakteristische Polynom [mm] $\chi_{A}$ [/mm] von $A$ habe $n$ verschiedene Nullstellen. Zeige, dass jeder Eigenvektor von $A$ auch ein Eigenvektor von $B$ ist (eventuell zu einem anderen Eigenwert). |
Hallo an alle Hilfsbereiten,
diese Aufgabe bereitet mir Schwierigkeiten. Was ich aus den Voraussetzungen folgern kann ist zum einen, dass $A$ auch $n$ verschiedene Eigenvektoren hat, welche linear unabhängig sind und damit eine Basis des [mm] $K^{n}$ [/mm] bilden. Insbesondere ist $A$ bezüglich dieser Basis diagonalisiert. So weit so gut...mein Problem ist nun, die Brücke zur Matrix $B$ zu schlagen, denn mit dem Hinweis das $A$ und $B$ multiplikativ kommutieren, kann ich momentan in Bezug auf deren Eigenvektoren noch nicht wirklich was anfangen. Im Voraus schon mal danke für eure Hilfe.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:02 Sa 05.04.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
lass v einen Eigenvektor von A sein und überlege dir
erstens, dass Bv dann auch ein Eigenvektor von A ist und
zweitens, was du damit anfangen kannst.
Gruß Sax.
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Hallo und erst mal vielen Dank für deine Antwort.
Also dass auch $Bv$ ein Eigenvektor zu $A$ ist, würde ich mir so klar machen:
Sei $v$ EV zu $A$ [mm] $\gdw$ $Av=\lambda [/mm] v$
Durch Multiplikation von $B$ erhalte ich dann:
[mm] $ABv=\lambda [/mm] Bv$
Setze ich nun $w:=Bv$, so erhalte ich
[mm] $Aw=\Lambda [/mm] w$ und damit $w$ EV von $A$.
Ist das korrekt? Wenn ja, wie mache ich dann weiter?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:52 Sa 05.04.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
> Hallo und erst mal vielen Dank für deine Antwort.
>
> Also dass auch [mm]Bv[/mm] ein Eigenvektor zu [mm]A[/mm] ist, würde ich mir
> so klar machen:
>
> Sei [mm]v[/mm] EV zu [mm]A[/mm] [mm]\gdw[/mm] [mm]Av=\lambda v[/mm]
>
> Durch Multiplikation von [mm]B[/mm] erhalte ich dann:
>
> [mm]ABv=\lambda Bv[/mm]
Du solltest erwähnen, dass hier die Voraussetzung der Kommutativität eingeht.
>
> Setze ich nun [mm]w:=Bv[/mm], so erhalte ich
>
> [mm]Aw=\Lambda w[/mm] und damit [mm]w[/mm] EV von [mm]A[/mm].
>
> Ist das korrekt? Wenn ja, wie mache ich dann weiter?
Du bemerkst, dass [mm] \Lambda=\lambda [/mm] ist und argumentierst weiter mit der Anzahl der Nullstellen von [mm] \chi [/mm] und der daraus folgenden Dimension jedes Eigenraumes, dass w in <v> liegen muss.
Gruß Sax.
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Also, da [mm] $\chi$ [/mm] n Nullstellen hat, kann ich daraus schließen, dass A auch n verschiedene EV hat, die insbesondere linear unabhängig sind. Mithin wird also durch jeden EV ein Eigenraum erzeugt derart, dass mit [mm] $V_{i}, i\in\left\{ 1,...,n \right\}$ [/mm] Eigenraum zum EW [mm] $\lambda_{i}$ [/mm] gilt:
[mm] $\bigcap_{i=1}^{n} V_{i}=0$
[/mm]
Weiter hat jeder Eigenraum die Dimension 1, da gilt:
[mm] $V_{i}=span(v_{i})$, [/mm] womit auch [mm] $w\in [/mm] span(v)=:V$ für V ER zu [mm] $\lambda$
[/mm]
Aber warum hieraus dann folgt, dass v auch EV von B ist will mir immer noch nicht so ganz einleuchten.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:51 Sa 05.04.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
ich hoffe, deine Nase hält's aus, wenn ich dich mit ihr jetzt auf zwei deiner eigenen Textstellen stoße:
> Setze ich nun $ w:=Bv $
und
> $ [mm] w\in [/mm] span(v)=:V $
Ich hoffe, dass sich
> Aber warum hieraus dann folgt, dass v auch EV von B ist
damit erledigt hat.
Gruß Sax.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:11 Sa 05.04.2014 | | Autor: | SiuNimTau |
Na klar...vielen Dank für deine Tipps und Geduld:)
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