Eigenvektoren und Eigenwerte < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:44 Sa 05.07.2014 | | Autor: | Skippy05 |
| Aufgabe | Hallo,
A:= [mm] $\pmat{2&-3&1\\3&1&3\\-5&2&4}$
[/mm]
Bestimmen Sie eine Basis von [mm] $\IQ^{3}$, [/mm] die aus Eigenvektoren von [mm] $F_A$ [/mm] Bestehen. |
Hallo zusammen,
Ich brauche Euren Rat und Hilfe, und zwar:
Ich weiss wie man die Eigenwerte und Eigenvektoren u.sw bestimmt.
Aber, bei der Bestimmung von Eigenwerten bei dieser Matrix komme ich irgendwie nicht weiter, da charakteristische Polynom folgend aussieht:
[mm] $-t^{3}+7t^{2}-22t+88$
[/mm]
Und weiter
[mm] $-t(t^{2}+7t-22)+88=0$
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:57 Sa 05.07.2014 | | Autor: | hippias |
Ich habe nicht ueberprueft, ob Du das charakterische Polynom richtig bestimmt hast, aber in jedem Fall hast Du einen Fehler beim Ausklammern von $-t$ gemacht.
Wenn alle anderen Mittel zur Loesung der Gleichung versagen, koenntest Du durch Ausprobieren eine Loesung bestimmen und diese mittels Polynomdivision, Horner Schema etc. ausfaktorisieren.
Vielleicht ist Dir ja bekannt, dass man sich beim Ausprobieren im Grunde auf die Teiler des Absolutgliedes beschraenken kann. Davon gibt es zwar nicht wenige, aber immerhin...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:19 Sa 05.07.2014 | | Autor: | Skippy05 |
Sorry!!
Es muss
[mm] $-t(t^{2}-7t+22)+88=0
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:17 Sa 05.07.2014 | | Autor: | Fulla |
Hallo Skippy05!
> Hallo,
>
> A:= [mm]\pmat{2&-3&1\\3&1&3\\-5&2&4}[/mm]
> Bestimmen Sie eine Basis von [mm]\IQ^{3}[/mm], die aus
> Eigenvektoren von [mm]F_A[/mm] Bestehen.
> Hallo zusammen,
>
> Ich brauche Euren Rat und Hilfe, und zwar:
>
> Ich weiss wie man die Eigenwerte und Eigenvektoren u.sw
> bestimmt.
>
> Aber, bei der Bestimmung von Eigenwerten bei dieser Matrix
> komme ich irgendwie nicht weiter, da charakteristische
> Polynom folgend aussieht:
>
> [mm]-t^{3}+7t^{2}-22t+88[/mm]
Das Char. Polynom stimmt.
Aber ich bezweifle, dass du die Matrix richtig abgeschrieben hast... Die Eigenwerte sind außerst hässlich und nicht rational: Der reelle Eigenwert ist [mm]\frac 13\left( 838+3\sqrt{78573}\right)^{\frac 13}-\frac{17}{3\left( 838+3\sqrt{78573}\right)^{\frac 13}}+\frac 73 \approx 5.818324583[/mm].
Kann es vielleicht sein, dass der 4 ein Minuszeichen fehlt?
Lieben Gruß,
Fulla
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:46 Sa 05.07.2014 | | Autor: | Skippy05 |
Danke erstmal an alle!
Hallo Fulla,
Nein die Matrix habe ich richtig abgeschrieben!
Und die Werte waren bei mir auch sehr hässlich, deswegen dachte ich vielleicht gibt es einen anderen Weg die Eigenwerte zu bestimmen.
Ich vermute das ist ein Tippfehler unseres Prof.
Ich versuch mal mit-4. ob iich dann was besseres raus kriege....
Hallo hippias,
Horner Schema kenne ich nicht,
Aber es ist sehr interessant. Muss grad nur verstehen wie es so tickt.
Alle Versuche scheitern mit allen üblichen Mitteln:ausprobieren, Mitternachtsformel.
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:12 Sa 05.07.2014 | | Autor: | Fulla |
> Danke erstmal an alle!
> Hallo Fulla,
>
> Nein die Matrix habe ich richtig abgeschrieben!
>
> Und die Werte waren bei mir auch sehr hässlich, deswegen
> dachte ich vielleicht gibt es einen anderen Weg die
> Eigenwerte zu bestimmen.
>
> Ich vermute das ist ein Tippfehler unseres Prof.
> Ich versuch mal mit-4. ob iich dann was besseres raus
> kriege....
Hallo nochmal!
Mit der -4 sind die Eigenwerte 0, 1 und 2 (ohne gewähr - hab mir das vorher nicht aufgeschrieben, aber sie sind auf jeden Fall ganze Zahlen).
So, wie die Matrix oben steht, ergibt die Aufgabe jedenfalls keinen Sinn. Wenn die Eigenwerte schon reell bzw. komplex sind, werden die Eigenvektoren nicht gerade angenehmer. Und wie mann daraus eine Basis vom [mm] $\mathbb Q^3$ [/mm] basteln soll weiß ich auch nicht....
> Hallo hippias,
>
> Horner Schema kenne ich nicht,
>
> Aber es ist sehr interessant. Muss grad nur verstehen wie
> es so tickt.
> Alle Versuche scheitern mit allen üblichen
> Mitteln:ausprobieren, Mitternachtsformel.
Nun, mit der "angepassten" Matrix sollte das kein Problem sein. Da kommst du sogar um das Probieren rum 
Lieben Gruß,
Fulla
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:26 Sa 05.07.2014 | | Autor: | rmix22 |
Hallo!
> Mit der -4 sind die Eigenwerte 0, 1 und 2 (ohne gewähr -
> hab mir das vorher nicht aufgeschrieben, aber sie sind auf
> jeden Fall ganze Zahlen).
Ja, -2 statt +2. Aber jedenfalls "schön".
Ich denk auch, dass da irgendwo ein Angabefehler drin steckt.
> > Horner Schema kenne ich nicht,
> >
Vergiss es! Diese eine einzige reelle Lösung deines charakteristischen Polynoms wirst du kaum "erraten". Die Gleichung könntest du mit Cardano lösen.
Aber ich denke, du solltest eher daran gehen, den Angabefehler zu lokalisieren.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:26 Sa 05.07.2014 | | Autor: | Skippy05 |
Hallo Fulla,
du hast tatsächlich recht!! Woher wusstest du das es am -4 liegt?
Also bei mir sind die Eigenwerte: 0;-2;1
Und der Eigenvektor 1: s(10,3,-11)
Eigenvektor2 (4,3,-7)
Und Eigenvektor 3: (-1,0,1)
Also geht alles!!
Danke sehr!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:46 Sa 05.07.2014 | | Autor: | Fulla |
> Hallo Fulla,
>
> du hast tatsächlich recht!! Woher wusstest du das es am -4
> liegt?
Na ja, ich hab das meinen Computer rechnen lassen und eben einzelne Vorzeichen geändert.
> Also bei mir sind die Eigenwerte: 0;-2;1
>
> Und der Eigenvektor 1: s(10,3,-11)
> Eigenvektor2 (4,3,-7)
> Und Eigenvektor 3: (-1,0,1)
Alles richtig! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Jetzt fehlt noch ein Satz zur Basis des [mm] $\mathbb Q^3$...
[/mm]
> Also geht alles!!
> Danke sehr!!
Gerne!
Lieben Gruß,
Fulla
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