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Eigenvektoren bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:24 Fr 11.05.2012
Autor: georg1982

Aufgabe
Für folgende Matrix sollen die Eigenwerte und die Eigenvektoren bestimmt werden.
[mm] \pmat{ 1 & 2 & -2 \\ 2 & 1 & -2 \\ 1 & -3 & 0} [/mm]

Das Charakteristische Polynom habe ich mit
[mm] $-\lambda^3+2\lambda^2+7\lambda+4$ [/mm] bestimmt
die Eigenwerte sind $-1; -1; 4$

für [mm] $\lambda=-1$ [/mm] ist mein GLS,

[mm] $\pmat{ 2 & 2 & -2 \\ 2 & 2 & -2 \\ 1 & -3 & 1}$ [/mm]

für [mm] $\lambda=4$ [/mm] ist mein GLS,

[mm] $\pmat{ -3 & 2 & -2 \\ 2 & -3 & -2 \\ 1 & -3 & -4}$ [/mm]

Schwierigkeiten habe ich jetzt damit das richtig zu interpretieren,
die einzelnen Zeilen müssen $0$ ergeben. Ich habe aber keine Ahnung wie ich das richtig "lesen" soll/ kann.
Bei [mm] $\lambda=-1$ [/mm] sind zwei Zeilen gleich und damit linear abhängig aber was das für den entsprechenden Eigenvektor heißt weiß ich nicht.
mir müsste mal jemand erklären wie da die Zusammenhänge sind.
Grüße Georg

        
Bezug
Eigenvektoren bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:02 Fr 11.05.2012
Autor: Schadowmaster

moin georg,

Ich würde sagen du solltest dir nochmal kurz angucken, wo das charakteristische Polynom überhaupt herkommt.
Gesucht sind Eigenwerte und Eigenvektoren, also Paare [mm] $\lambda$ [/mm] und $x$, sodass $Ax = [mm] \lambda [/mm] * x$ gilt.
Um diese zu finden wird zuerst die Gleichung umgestellt:
$Ax - [mm] \lambda*x [/mm] = 0$
Nun wird das $x$ ausgeklammert, aber damit das möglich ist muss eine Einheitsmatrix reingemogelt werden ($A - [mm] \lambda$ [/mm] kann man schlecht rechnen); denn es gilt ja [mm] $\lambda [/mm] * x = [mm] \lambda [/mm] * [mm] I_n [/mm] * x$.
[mm] $(A-\lambda [/mm] * [mm] I_n)*x [/mm] = 0$
Wir definieren mal $B := A - [mm] \lamda [/mm] * [mm] I_n$. [/mm]
Jetzt stellt sich die Frage: Wann hat diese Gleichung eine Lösung (außer $x=0$)?
Ist $B$ invertierbar, so gibt es eine solche Lösung nicht (das hattet ihr hoffentlich irgendwann beim Untersuchen linearer Gleichungssysteme).
Also brauchen wir nur den Fall zu betrachten, dass $B$ nicht invertierbar ist.
Das ist aber genau dann der Fall, wenn die Determinante von $B$ gleich 0 ist.
Die Determinante ist, wie dir sicher schon aufgefallen ist, gerade das charakteristische Polynom von $A$.
Diese Tatsache erklärt auch, wieso die Eigenwerte gerade die Nullstellen davon sind.
Haben wir nun die Nullstellen (zB -1), so setzen wir dies für [mm] $\lambda$ [/mm] ein.
Da die Determinante von $B$ in diesem Fall gleich 0 ist weiß man (weißt du hoffentlich, wiederum aus genauer Betrachtung von LGS im Verlaufe der Vorlesung), dass der Kern bzw. der Nullraum von $B$ mindestens eindimensional ist.
Damit gibt es (mindestens) einen Eigenvektor ungleich 0 zum Eigenwert -1.
Um diesen zu finden wird eben obiges Gleichungssystem gelöst, also $Bx = 0$, wobei [mm] $\lambda [/mm] = -1$ in $B$ eingesetzt wird.

Wie du siehst lässt sich das ganze Problem auf das Lösen linearer Gleichungssysteme zurückführen; und hier ist (über Körpern) der Gaußalgorithmus ja nicht zu verachten.

Solltest du noch nicht oder noch nicht so genau wissen wie man lineare Gleichungssysteme löst so würde ich dir dringend raten das nachzuarbeiten, denn das wirst du noch sehr oft brauchen; sowohl theoretisch wie oben als auch praktisch.

Und natürlich kannst du dazu ggf. auch fragen, falls beim Lösen von LGS noch etwas unklar sein sollte.

lg

Schadow

PS: Das charakteristische Polynom wird oft normiert.
Das macht einige Sätze, in denen es benutzt wird, etwas schöner.
Beim Berechnen von Eigenwerten ist es egal, aber in einer potentiellen Klausur würde ich an deiner Stelle zumindest vorher in Erfahrung bringen, ob sie bei einer Aufgabe der Form "geben Sie das char. Poly. der Matrix an" Punkte abziehen, wenn es nicht normiert ist.

Bezug
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