Eigenvektoren berechnen < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:39 Do 16.12.2010 | | Autor: | zocca21 |
| Aufgabe | A = [mm] \pmat{ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 }
[/mm]
Bestimmen sie die Eigenvektoren |
Zunächst hab ich über Sarrus die Eigenwerte bestimmt
[mm] \lambda_1,2 [/mm] = 2 [mm] \lambda_3=0
[/mm]
Nun habe ich Probleme bei den Eigenvektoren:
[mm] \lambda_3
[/mm]
[mm] \pmat{ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 }
[/mm]
Hätte ich ja z.B. [mm] \vektor{ 1 \\ -2 \\ 4 }
[/mm]
[mm] \lambda_1,2 [/mm] müsste ich ja dann 2 Vektoren haben bzw einen Eigenraum oder?
[mm] \pmat{ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -2 }
[/mm]
Einen Vektor seh ich ja mit [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0}..wie [/mm] komme ich weiter?
Vielen Dank
|
|
| |
|
Hallo zocca21,
> A = [mm]\pmat{ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm]
>
> Bestimmen sie die Eigenvektoren
> Zunächst hab ich über Sarrus die Eigenwerte bestimmt
>
> [mm]\lambda_1,2[/mm] = 2 [mm]\lambda_3=0[/mm]
>
> Nun habe ich Probleme bei den Eigenvektoren:
>
> [mm]\lambda_3[/mm]
>
> [mm]\pmat{ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm]
>
> Hätte ich ja z.B. [mm]\vektor{ 1 \\ -2 \\ 4 }[/mm]
>
> [mm]\lambda_1,2[/mm] müsste ich ja dann 2 Vektoren haben bzw einen
> Eigenraum oder?
>
> [mm]\pmat{ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -2 }[/mm]
>
> Einen Vektor seh ich ja mit [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0}..wie[/mm] komme
> ich weiter?
Eigenvektoren hast Du alle bestimmmt.
Willst Du jetzt die Matrix auf Diagonalgestalt bringen,
so mußt Du die ![[]](/images/popup.gif) verallgemeinerten Eigenräume betrachten.
>
> Vielen Dank
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:40 Do 16.12.2010 | | Autor: | zocca21 |
z.B.
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 4 }
[/mm]
Hab des auf Wikipedia nich ganz geblickt :(
|
|
|
| |
|
Hallo zocca21,
> z.B.
>
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 4 }[/mm]
Das ist nicht richtig, da die Determinante hiervon verschwindet.
>
> Hab des auf Wikipedia nich ganz geblickt :(
Aus
[mm]\pmat{2-\blue{2} & 1 & 0 \\ 0 & 2-\blue{2} & 1 \\ 0 & 0 & -\blue{2}}*\pmat{x \\ y \\ z}=\pmat{0 \\ 0 \\ 0}[/mm]
hast Du den Eigenvektor [mm]\pmat{1 \\ 0 \\ 0}[/mm] ermittelt.
Da die algebraische Vielfachheiit des Eigenwertes 2 nicht der
geometrischen Vielfachheit desselben Eigenwertes entspricht,
ist ein weiter Vektor aus der Gleichung
[mm]\pmat{2-\blue{2} & 1 & 0 \\ 0 & 2-\blue{2} & 1 \\ 0 & 0 & -\blue{2}}^{2}*\pmat{x \\ y \\ z}=\pmat{0 \\ 0 \\ 0}[/mm]
zu bestimmen, der kein Vielfaches von [mm]\pmat{1 \\ 0 \\ 0}[/mm] ist.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:57 Do 16.12.2010 | | Autor: | zocca21 |
Danke erstmal.
Genau, dass ist mein Problem:
$ [mm] \pmat{2-\blue{2} & 1 & 0 \\ 0 & 2-\blue{2} & 1 \\ 0 & 0 & -\blue{2}}^{2}\cdot{}\pmat{x \\ y \\ z}=\pmat{0 \\ 0 \\ 0} [/mm] $
Hieraus hab ich den Vektor [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] Jedoch hab ich keine Ahnung wie ich auf einen komme, der nicht das Vielfache von diesem ist. Aus meiner Matrix.
Wie geh ich da vor?
Ich brauche ja 3 Eigenvektoren, richtig?
Danke nochmal!
|
|
|
| |
|
Hallo zocca21,
> Danke erstmal.
>
> Genau, dass ist mein Problem:
>
>
>
> [mm]\pmat{2-\blue{2} & 1 & 0 \\ 0 & 2-\blue{2} & 1 \\ 0 & 0 & -\blue{2}}^{2}\cdot{}\pmat{x \\ y \\ z}=\pmat{0 \\ 0 \\ 0}[/mm]
>
> Hieraus hab ich den Vektor [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0}[/mm] Jedoch hab
> ich keine Ahnung wie ich auf einen komme, der nicht das
> Vielfache von diesem ist. Aus meiner Matrix.
>
> Wie geh ich da vor?
Berechne erstmal
[mm]\pmat{2-\blue{2} & 1 & 0 \\ 0 & 2-\blue{2} & 1 \\ 0 & 0 & -\blue{2}}^{2}=\pmat{0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -2}^{2}=\pmat{0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -2}*\pmat{0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -2}[/mm]
Berechne dann alle Lösungen von
[mm]\left( \ \pmat{0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -2}*\pmat{0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -2} \ \right)\cdot{}\pmat{x \\ y \\ z}=\pmat{0 \\ 0 \\ 0}[/mm]
> Ich brauche ja 3 Eigenvektoren, richtig?
>
> Danke nochmal!
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:06 Fr 17.12.2010 | | Autor: | zocca21 |
Also erhalte ich die Matrix:
[mm] \pmat{ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 4 }
[/mm]
Damit hätte ich ja die Eigenvektoren
z.B. [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0 } [/mm] und [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0 }
[/mm]
korrekt?
|
|
|
| |
|
Hallo zocca21,
> Also erhalte ich die Matrix:
>
> [mm]\pmat{ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 4 }[/mm]
>
> Damit hätte ich ja die Eigenvektoren
>
> z.B. [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0 }[/mm] und [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ 0 }[/mm]
>
> korrekt?
Ja, das ist korrekt.
Gruss
MathePower
|
|
|
|
