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Eigenvektoren Orthogonal: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:41 So 17.06.2012
Autor: mathenully

hallo,

ich hätte noch eine paar generelle fragen:

wenn ich 3 einfache Eigenwerte habe und habe den eigenvektor zum ersten und den eigenvektor zum zweiten eigenwert berechnet kann ich doch den dritten eigenvektor durch kreuzprodukt der beiden ersten berechnen oder?

ist hier eine vorraussetzung das die matrix symmetrisch ist oder geht das bei jeder matrix?

sind diese drei vektoren dann direkt othogonal zueinander? bzw.
sind eigenvektoren zu verschiedenen (einfachen) eigenwerten immer orthgonal zueinander?

vielen dank schon mal im vorraus!

        
Bezug
Eigenvektoren Orthogonal: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:06 So 17.06.2012
Autor: notinX

Hallo,

> hallo,
>  
> ich hätte noch eine paar generelle fragen:
>  
> wenn ich 3 einfache Eigenwerte habe und habe den
> eigenvektor zum ersten und den eigenvektor zum zweiten
> eigenwert berechnet kann ich doch den dritten eigenvektor
> durch kreuzprodukt der beiden ersten berechnen oder?

nein, das gilt allgemein nicht. Betrachte als Gegenbeispiel folgende Matrix:
[mm] $A=\left(\begin{array}{ccc} 2 & -3 & 1\\ 3 & 1 & 3\\ -5 & 2 & -4 \end{array}\right)$ [/mm]

>  
> ist hier eine vorraussetzung das die matrix symmetrisch ist
> oder geht das bei jeder matrix?

Bei einer symmetrischen Matrix stehen die Eigenvektoren orthogonal zueinander - das heißt aber nicht, dass man aus zwei gegebenen Eigenvektoren einen dritten berechnen kann.

>  
> sind diese drei vektoren dann direkt othogonal zueinander?
> bzw.

Welche drei und was ist "direkt orthogonal"?

>  sind eigenvektoren zu verschiedenen (einfachen)
> eigenwerten immer orthgonal zueinander?

Nein.

>  
> vielen dank schon mal im vorraus!

Gruß,

notinX

Bezug
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