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Eigenvektoren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:13 Sa 28.04.2012
Autor: EvelynSnowley2311

huhu,
mal ne kleine Frage:

ich sitze hier an einer schönen Aufgabe und nachdem ich Eigenwerte bestimmt habe, muss ich nun den Eigenvektor finden.
Die Rechnung ist ziemlich arg lang, am Ende kam ich auf
eine doppelte Nullstelle bei
[mm] \lambda_{1,2} [/mm] = -1 , [mm] \lambda_{3} [/mm] = 1
ich weiß nicht ob es ein  besonderes Verfahren bei doppelter Nullstelle gibt zur Berechnung der Eigenvektoren, aber mit meiner Def [mm] (\lambda_i [/mm] I -A)x = 0, wobei A meine Ausgangsmatrix war, muss ich das lineare Gleichungsystem nach x auflösen, was ich eigentlich kann, aber meine Matrix
[mm] (\lambda_i [/mm] I -A)x = 0 als Gleichungssystem sieht so aus :


-2a -2b -2c = 0
-a   -b   -c = 0
-a  -b    -c = 0

Da sieht man leicht, dass die Zeilen lin abhängig sind und ich es garnicht lösen kann. Es gibt ja unendlich viele Lösungen dafür. Was heisst das für die Bestimmung des Eigenvektors? (Anmerkung: A war eigentlich symmetrisch und daher diagonalisierbar)
Oder macht man das bei doppelter Nullstelle anders?

Lg,

Eve

        
Bezug
Eigenvektoren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:49 Sa 28.04.2012
Autor: MathePower

Hallo EvelynSnowley2311,

> huhu,
>  mal ne kleine Frage:
>  
> ich sitze hier an einer schönen Aufgabe und nachdem ich
> Eigenwerte bestimmt habe, muss ich nun den Eigenvektor
> finden.
>   Die Rechnung ist ziemlich arg lang, am Ende kam ich auf
>  eine doppelte Nullstelle bei
> [mm]\lambda_{1,2}[/mm] = -1 , [mm]\lambda_{3}[/mm] = 1
>  ich weiß nicht ob es ein  besonderes Verfahren bei
> doppelter Nullstelle gibt zur Berechnung der Eigenvektoren,
> aber mit meiner Def [mm](\lambda_i[/mm] I -A)x = 0, wobei A meine
> Ausgangsmatrix war, muss ich das lineare Gleichungsystem
> nach x auflösen, was ich eigentlich kann, aber meine
> Matrix
>  [mm](\lambda_i[/mm] I -A)x = 0 als Gleichungssystem sieht so aus :
>  
>
> -2a -2b -2c = 0
>  -a   -b   -c = 0
>  -a  -b    -c = 0
>  
> Da sieht man leicht, dass die Zeilen lin abhängig sind und
> ich es garnicht lösen kann. Es gibt ja unendlich viele
> Lösungen dafür. Was heisst das für die Bestimmung des
> Eigenvektors? (Anmerkung: A war eigentlich symmetrisch und
> daher diagonalisierbar)
>  Oder macht man das bei doppelter Nullstelle anders?
>  


Nun, das Gleichungssystem läßt sich auf eine Gleichung reduzieren:

[mm]-a-b-c=0[/mm]

Daraus ergeben sich zunächst unendlich viele Lösungen.

Zwei spezielle Lösungen erhältst Du, wenn einmal b=1,c=0 und
das anderemal b=0,c=1 gesetzt wird. Dies sind dann die beiden
Eigenvektoren zum Eigenwert -1.


> Lg,
>  
> Eve


Gruss
MathePower

Bezug
                
Bezug
Eigenvektoren: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:10 Sa 28.04.2012
Autor: EvelynSnowley2311

ah super, danke dir.
Das so zu setzen, das hätte ich nicht gemacht^^

Bezug
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