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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:09 Di 12.07.2005 | | Autor: | Sanne |
Hallo,
folgende Matrix
[mm] A=\pmat{11 & 0 & 4 \\ 0 & 3 & 0 \\ -20 & 0 & -7}
[/mm]
Aufgabe ist, die Eigenwerte und Eigenvektoren zu berechnen.
Als Eigenwerte habe ich
[mm] \lambda_1 [/mm] = 3 [mm] \lambda_2 [/mm] = 3 und [mm] \lambda_3 [/mm] = 1 - was auch stimmt (habe das Ergebnis hier).
Für [mm] \lambda_3 [/mm] 1 habe ich den Eigenvektor [mm] \vektor{-2 \\ 0 \\ 5} [/mm] raus, was ebenfalls stimmt.
Nun komme ich aber nicht auf die beiden Eigenvektoren für [mm] \lambda_1 [/mm] und [mm] \lambda_2.
[/mm]
Diese sind laut Musterergebnis
[mm] \vektor{1 \\ 0 \\ -2} [/mm] und [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0}.
[/mm]
[mm] (A-\lambda_1E)*\vec{r}^{1}=\vec{0}
[/mm]
[mm] \pmat{8 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 0 \\ -20 & 0 & -10}*\vektor{r_1 \\ r_2 \\ r_3}=\vektor{0 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
Wenn ich das ganze jetzt als Gleichunssystem schreibe ist klar, dass ich [mm] r_3 [/mm] frei wählen kann und dass [mm] r_2=0 [/mm] ist.
Als "letzten Schritt" (sind ja nicht allzuviele) habe ich dann
2 0 1
0 0 0
0 0 0
da stehen. OK, die mittlere Zeile hätte ich von Anfang an weglassen können, finde es aber so übersichtlicher.
Wenn ich jetzt aber [mm] r_3=\alpha [/mm] setze bekomme ich
[mm] 2_r1+\alpha=0 [/mm] bzw. [mm] 2r_1=-\alpha
[/mm]
und als Eigenvektor dann nicht [mm] \vektor{ 1 \\ 0 \\ -2} [/mm] sondern [mm] \vektor{-1 \\ 0 \\ 2}.
[/mm]
Wo ist da jetzt mein Fehler? Und wie komme ich auf den zweiten Eigenvektor für [mm] \lambda_2=3? [/mm] Bzw. wie gehe ich generell vor, wenn ich einen doppelten Eigenwert habe?
Gruß
Sanne
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Hallo Susanne,
Du hast nichts falsch gemacht.
Wenn zwei Vektoren Eigenvektoren zum selben Eigenwert sind (hier 3), dann sind auch skalare Vielfache Eigenvektoren (also auch - [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ -2} [/mm] ) und die Summe beider Eigenvektoren ist ein Eigenvektor zum selben Eigenwert etc., also die ganze von beiden Vektoren aufgespannte Ebene.
So muss z.B. r2 in Deiner Überlegung keineswegs 0 sein, sondern kann beliebig sein (die mittlere Nullspalte anulliert jedes r2), das entspräche dann der Addition von r2 [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0} [/mm] zu [mm] \vektor{-1 \\ 0 \\ 2} [/mm] .
Von daher ist das Ergebnis nicht eindeutig.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:54 Di 12.07.2005 | | Autor: | Sanne |
Aaaah, danke!!!
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