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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:56 Mi 26.05.2010 | | Autor: | pitta |
| Aufgabe | Es seien K ein Körper, V ein endlich erzeugter K-Vektorraum, [mm] \phi \in End_{K}(V) [/mm] mit Eigenvektoren v,w [mm] \in [/mm] V, und a,b [mm] \in [/mm] K.
Wann ist av+bw [mm] \in [/mm] V ebenfalls ein Eigenvektor von [mm] \phi [/mm] ? |
Hallo,
hab mir folgendes überlegt: v,w sind EV, also gilt:
[mm] \phi(v) [/mm] = cv
[mm] \phi(w) [/mm] = dw für gewisse (Eigenwerte) c,d [mm] \in [/mm] K.
Damit av+bw ein EV von [mm] \phi [/mm] ist, muss gelten:
[mm] \phi(av+bw) [/mm] = e (av + bw) für e [mm] \in [/mm] K.
Ich setze also an:
[mm] \phi(av+bw) [/mm] = [mm] a*\phi(v) [/mm] + b* [mm] \phi(w) [/mm] (weil [mm] \phi [/mm] linear)
= a*c*v + b* d * w = c* av + d * bw (weil V Vektorraum über K)
damit man jetzt auf e (av + bw) kommt muss c=d gelten ( Dann kann man das Distributivgesetz anwenden)
Also ist av+bw ein Eigenvektor von [mm] \phi, [/mm] wenn v und w Eigenvektoren zum gleichen Eigenwert sind ?
Bitte um Kommentare
Gruß
P.S. Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Sa 29.05.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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