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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:36 So 15.04.2007 | | Autor: | sorry_lb |
| Aufgabe | | [mm] A=\bruch{1}{6} \pmat{ 11 & -1 & -4 \\ -1 & 11 & -4 \\ -4 & -4 & 14 } [/mm] |
Guten abend. Also Grundfrage der Aufgabe sind Eigenwerte, Eigenvektoren u die Basis des R³ die aus den Eigenvektoren von "phi" besteht. nun das ausrechnen is ja nich so schwer, aber mir stellt sich folgende frage: ich hab bzgl obiger matrix die eigenwerte 6,12 u 18 raus. zu 6 ergibt sich der Ev (t,t,t) aber zu 12 u 18 bekomme ich nur den nullvektor raus, was unlogisch ist oder? oder muss das so sein, weil ich mit dem Ev (t,t,t) ja schon die basis des R³ habe? (t ist Element R)
hatte das selbe problem schon beim letzten mal, aber leider haben wir die aufgaben noch nich zurück, also muss ich jetz doch euch mal damit belästigen *g
lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:37 So 15.04.2007 | | Autor: | sorry_lb |
hm momentan hab ich noch ein problem dazu bekommen, ein kommilitone hat de ews 1,2,3 raus. wer hat nu recht? mir wäre jetzt unklar warum es einen unterschied macht, ob man (1/6) * det (E*lambda -A)=0 oder zuerst jedes element der matrix durch 6 dividiert und dann obige gleichung rechnet...
oder anders: ich dachte ew sind speziefische zahlen, oder sind auch beliebige vielfache möglich? weil er ja letztendlich auf den selben ew kommt...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:57 So 15.04.2007 | | Autor: | sorry_lb |
erste frage hat sich erledigt, hatte mich verrechnet. die zweite frage würde mich aber nach wie vor interessieren...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:16 So 15.04.2007 | | Autor: | piet.t |
> hm momentan hab ich noch ein problem dazu bekommen, ein
> kommilitone hat de ews 1,2,3 raus. wer hat nu recht? mir
> wäre jetzt unklar warum es einen unterschied macht, ob man
> (1/6) * det (E*lambda -A)=0 oder zuerst jedes element der
> matrix durch 6 dividiert und dann obige gleichung
> rechnet...
Schauen wir uns erst mal den ersten Weg an:
Die Eigenwerte sind die Nullstellen des char. Polynoms, also die Lösungen von [mm]det(E*\lambda - A)=0[/mm] und diese GElichung kann man ohne weiteres durch 6 dividieren und bekommt
[mm]\frac{1}{6}det(E*\lambda - A)=0[/mm]
Das ist also so richtig. Um zu sehen, was es für einen Unterschied macht, wenn man einfach zuerst alle Elemente der Matrix durch 6 dividiert multiplizieren wir doch mal die linke Seite aus:
[mm]\frac{1}{6}det(E*\lambda - A)=det(\frac{1}{6}*E*\lambda - \frac{1}{6}A)[/mm]
Wenn man dagegen erst die Matrix [mm] *\fraac{1}{6} [/mm] nimmt bekommt man aber
[mm]det(E*\lambda - \frac{1}{6}A)[/mm]
als char. Polynom, d.h. statt im ersten Summanden steht auf einmal das sechsfache. Und dass das andere Nullstellen hat kann man sich ja vorstellen.
Am einfachsten sieht man das ganze an Diagonalmatrizen. Da stehen ja auf der Hauptdiagonalen gerade die Eigenwerte. Wenn man jetzt alle Einträge mit einem Faktor multipliziert bekommt man auf der Diagonalen natürlich andere Werte, also auch andere Eigenwerte.
> oder anders: ich dachte ew sind speziefische zahlen, oder
> sind auch beliebige vielfache möglich? weil er ja
> letztendlich auf den selben ew kommt...
Ja, man kann einen Eigenwert nicht einfach durch ein Vielfaches ersetzen - sonst wären ja alle Eigenwerte letztlich irgendwie 1 (oder ein vielfaches davon).
Gruß
piet
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:44 So 15.04.2007 | | Autor: | sorry_lb |
hm... so hab ich mir das ja auch gedacht. aaaber: die formel für den eigenwert is doch det(lambda*E-A)=0. u meine matrix is ja letztenendes obige ohne die (1/6). warum sollte ich die 1/6 jetzt also bei der determinanten einbauen. also ich versteh schon die verschiedenen auswirkungen, aber so richtig erschlossen warum meine variante die richtige is, hab ich´s noch nich.
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Hallo,
> matrix is ja letztenendes obige ohne die (1/6). warum
> sollte ich die 1/6 jetzt also bei der determinanten
> einbauen.
Die Matrix ist nicht ohne 1/6... Du hast 1/6 nur aus der Matrx rausgezogen, um dir es zu sparen, bei jedem Wert durch sechs zu dividieren... im Prinzi ausgeklammert
Matrix ohne 1/6 ist also nicht deine Abbildungsmatrix. Deswegen musste die 1/6 dann wieder reinrechnen wenn du Eigenwerte bestimmen möchtest.
Liebe Grüße
Andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:16 Mo 16.04.2007 | | Autor: | sorry_lb |
hi andreas, ja das war echt dumm, aber nachdem jeder was anderes gesagt hat war ich entgültig verwirrt, da ich nich verstanden hab warum mein kommilitone u ich auf unterschiedliche ergebnisse haben, jeder aber, wie oben als richtig erkärt wurde, "richtig gerechnet" hat. aber ich hab es falsch gemacht, weil ich die 1/6 spaltenweise rausziehen müsste u so 1/6³ als faktor hätte. also is das problem geklärt *g
nochma ganz lieben dank
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