Eigenvektoren < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:17 Sa 18.09.2004 | | Autor: | cremchen |
Hallo,
ich habe eine Frage zu der geometrischen Vielfachheit von Eigenwerten!
Undzwar relativ allgemein im Rahmen der Diagonalisierung von Matrizen!
Undzwar angenommen, eine 3 x3 - Matrix hat den Eigenwert a mit algebraischer Vielfachheit 1 und den Eigenwert b mit Vielfachheit 2!
Wenn ich zwei linear unabhängige Eigenvektoren zum Eigenwert b finden kann, müssen diese dann auch zum Eigenvektor von a linear unabhängig sein? oder gilt diese Bedingung nur innerhalb des Eigenraums von b?
Und wie sieht das bei der Diagonalisierung mit Hilfe orthogonaler Matrizen aus! Die (falls vorhanden) 2 Eigenvektoren zu b müssen orthogonal sein! Müssen sie auch zum Eigenvektor von a orthogonal sein?
Ich danke euch für eure Hilfe!
Liebe Grüße und noch ein schönes Wochenende
Cremchen
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Ähem... wenn man zu blöd ist, die Frage richtig zu lesen, kommt nun mal nur Müll bei raus.
Also: wegen Schwachsinnigkeit gelöscht 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:12 So 19.09.2004 | | Autor: | cremchen |
Hallo,
danke für deine schnelle Antwort!
Ich hatte es gerade andersherum vermutet!
Ich will deine Antwort nicht in Frage stellen, da ich selbst wohl nicht so den Durchblick habe!
Ich würd mich aber freuen, wenn einer der genannten Geometrie-Götter das bestätigen könnte, damit ich mir dieser Sache sicher sein kann!
Liebe Grüße und einen schönen Sonntag noch!
Cremchen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:48 So 19.09.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo cremchen!
Hier meldet sich der Geometrie-Gott höchstpersönlich.
![[anbet]](/images/smileys/anbet.gif "[anbet]") (Marc) (Paul)
Schon gut, schon gut, ihr dürft euch wieder setzen.
(Für die, die mich nicht kennen: Das war jetzt ironisch. ![[auslach]](/images/smileys/auslach.gif "[auslach]") )
Aber zum Glück braucht man für die Beantwortung keinerlei Geometriekenntnisse. Elementare Kenntnisse der Linearen Algebra reichen vollkommen aus.
Du hast Recht, es ist in der Tat genau andersherum.
Also, noch einmal von vorne: Haben wir eine Diagonalisierung bezüglich einer beliebigen Matrix, so müssen die Eigenvektoren nicht unbedingt orthogonal sein, weder innerhalb eines Eigenraumes noch zwei Eigenvektoren aus verschiedenen Eigenräumen.
Damit eine Matrix diagonalisierbar ist, muss es eine Basis aus Eigenvektoren geben. Die Eigenwerte zu verschiedenen linearen Eigenwerten sind automatisch linear unabhängig. Zu jedem Eigenwert muss man nun schauen, ob die Dimension des Eigenraumes so groß ist wie die algebraische Vielfachheit des Eigenwertes (ist das für alle Eigenwerte der Fall, so ist die Matrix diagonalisierbar; ansonsten nicht).
Nun kümmern wir uns um die orthogonale Diagonalisierung. Im Reellen ist eine solche bei symmetrischen Matrizen möglich. In diesem Fall sind die Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten automatisch orthogonal. Da brauche ich gar nichts für zu machen, das kriege ich geschenkt. Innerhalb eines Eigenraumes dagegen müssen die Eigenvektoren nicht unbedingt orthogonal zueinander sein. Was muss ich also tun? Ich muss zu jedem Eigenraum eine Basis finden und diese separat für jeden Eigenraum orthonormalisieren (etwa nach Gram-Schmidt). Dann habe ich automatisch eine ON-Basis, bestehend aus Eigenvektoren.
Alles klar? 
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:53 So 19.09.2004 | | Autor: | cremchen |
Hallo Stefan!
Vielen Dank für deine schnelle Antwort!
Du hast mir wirklich sehr geholfen und mir für meine Klausur ein wenig Mut gegeben *g*
Liebe Grüße und einen schönen Sonntag
Cremchen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:18 So 19.09.2004 | | Autor: | e.kandrai |
Ja Hilfe, ein Glück gibt's noch Leute in diesem Forum, die lesen können
Keine Ahnung, warum ich mir eingebildet hatte, etwas von "symmetrischer" Matrix in der Aufgabe zu lesen...
Ähem.........
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