Eigenvektor/raum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:03 So 05.09.2004 | | Autor: | Johann.S |
Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
HI,
habe ein Problem bei der Berechnung von Basen bei Eigenräumen.
Gegeben ist folgnede Matrix: A1= [mm] \pmat{ -6 & -8 & 0 \\ 4 & 6 & 0 \\ 20 & 40 & -2}
[/mm]
Zu dieser Matrix soll nun charak. Polynom, Eigenwerte mit vielfachheiten und Basen für jeden Eigenraum berechnet werden.
Also das charakteristische Polynom und die EIgenwerte sind kein Problem folgende Lösung habe ich:
Eigenwerte: (2) mit Vielfachheit 1
und (-2) mit Vielfachheit 2
zum Eigenwert 2 ergibt sich der Eigenvektor [mm] \vektor{1 \\ -1 \\ 5}
[/mm]
Bei (-2) treten dann meine Probleme auf:
[mm] A2=A1-t\varepsilon [/mm] mit t=-2 ergibt sich folgende Matrix
[mm] A2\pmat{ 4 & -8 & 0 \\ 4 & 8 & 0 \\ 20 & 40 & 0}
[/mm]
Folgendes Gleichungssystem aufgestellt
4x-8y=0
4x+8y=0
20x+40y=0
und gelößt ergibt den Vektor [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ n} [/mm] wobei n bel. wählbar
Müßte ich nicht für den Eigenvektor (-2) 2 Eigenvektoren erhalten die linear unabhängig sind?
und wären dann nicht meine drei linear unabhängigen Eigenvektoren die Basis des Eigenraumes oder habe ich einfach nur zwei Eigenvektoren die einen 2 dim. Eigenraum aufspannen?
Im weiteren soll später eine Diagonalmatrix C und eine reguläre Matrix B angegeben werden so dass gilt:
C= [mm] B^{-1} [/mm] A B
wenn ich die abe nur zwei Eigenvektoren habe kann die Aufgabe doch gar nicht lösen.
was machich falsch ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:32 So 05.09.2004 | | Autor: | dieter |
Hallo!
> Müßte ich nicht für den Eigenvektor (-2) 2 Eigenvektoren
> erhalten die linear unabhängig sind?
Nein, nicht unbedingt, es kann durchaus sein, dass es die algebraische Vielfachheit (also die Vielfachheit als Nullstelle des charaktaristischen Polynoms) echt größer ist als die geometrische Vielfachheit (Anzahl der linear unabhängigen Eigenvektoren zu diesem Eigenwert.
> und wären dann nicht meine drei linear unabhängigen
> Eigenvektoren die Basis des Eigenraumes oder habe ich
> einfach nur zwei Eigenvektoren die einen 2 dim. Eigenraum
> aufspannen?
>
Wenn deine Rechung bis dahin stimmt, hättest du 2 eindimensionale Eigenräume, einen zum Eigenwert 2 einen zum Eigenwert -2. (Der Eigenraum ist jeweils nur zu einem Eigenwert definiert, die beiden Vektoren zu den zwei verschiedenen Eigenwerten bilden also keinen gemeinsamen Eigenraum, wie du sagst.)
> Im weiteren soll später eine Diagonalmatrix C und eine
> reguläre Matrix B angegeben werden so dass gilt:
>
> C= [mm]B^{-1}[/mm] A B
>
> wenn ich die abe nur zwei Eigenvektoren habe kann die
> Aufgabe doch gar nicht lösen.
> was machich falsch ?
Wenn du dich nicht verrechnet hast (ich werde das gleich mal überprüfen), dann machst du nichts falsch und hast recht damit, dass die Aufgabe so nicht lösbar ist.
Gruß
Dieter
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:39 So 05.09.2004 | | Autor: | dieter |
Okay, ich hab den Fehler in deiner Rechnung gefunden:
> [mm]A2=A1-t\varepsilon[/mm] mit t=-2 ergibt sich folgende Matrix
>
> [mm]A2\pmat{ 4 & -8 & 0 \\ 4 & 8 & 0 \\ 20 & 40 & 0}
[/mm]
>
Nein, es ergibt sich [mm]A2=\pmat{ -4 & -8 & 0 \\ 4 & 8 & 0 \\ 20 & 40 & 0}
[/mm]
und somit findet man tatsächlich zwei linear unabhängige Eigenwerte zum Eigenwert -2, nämlich [mm] $\vektor{2 \\ -1 \\ 0}$ [/mm] und [mm] $\vektor{0 \\ 0 \\ 1}$.
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:52 So 05.09.2004 | | Autor: | Johann.S |
Hi,
besten Dank für die Hilfe ich hab schon die ganze zeit gegrübelt wie es weiter gehen soll ohne das ich den Rechenfehler gesehen habe.
Desweiteren komm ich dann zurecht. 
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