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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:56 Di 26.06.2012 | | Autor: | chingy |
| Aufgabe | | Die Aufgabe lautet folgender Maßen: Finden sie den Eigenvektor und zeigen sie das es unendlich viele Lösungen gibt. |
Bx = d
B = 2 -6
-1 3
d = -2
1
Wie komme ich nur auf den Eigenvektor, ich habe morgen eine Prüfung in diesem fach daher wäre ich für eine schnelle und ausführlich lösung dankbar :=))
c -lambda I * x
wie ich auf lambda komme weiss ich.
angenommen dieser ist 1
dann kann ich ja ne lineare gleichung aufstellen:
2-1 -6 * -2
-1 3-1 1
1x -6y = -2
-1 + 2y = 1
ist das soweit richtig??
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Hallo,
man kann deine Rechnung so nicht nachvollziehen. Die Matrix B besitzt die Eigenwerte
[mm] s_1=0 [/mm] ; [mm] s_2=5
[/mm]
also ganz offensichtlich hapert es da schon gewaltig. Einen Eigenvektor zu einem Eigenwert s bekommst du, indem du das LGS
[mm] B*\vec{d}=s*\vec{d}
[/mm]
löst. Es wird dabei eine eindimensionale unendliche Lösungsmenge herauskommen, jeder Repräsentant dieser Lösungsmenge ist ein Eigenvektor zum Eigenwert s. Man gibt normalerweise dann einen Vektor mit einfachen ganzzahligen Komponenten an.
An deinem LGS hier:
> 1x -6y = -2
> -1 + 2y = 1
ist insbesondere falsch, dass die Komponenten des Eigenvektors auf der rechten Seite fehlen.
Eine Alternative wäre jedoch der Ansatz
[mm] (B-s*E)*\vec{d}=\vec{0}
[/mm]
was aber zu meiner obigen Version äquivalent ist.
Morgen Prüfung? Dann würde ich mir schleunigst ein gutes LA-Buch besorgen und das gründlichst durcharbeiten.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:29 Di 26.06.2012 | | Autor: | chingy |
| Aufgabe | | Aufgabe vollständig dargetellt. das erste wa reig mein versuch den eigenvektor zu bestimmen, war wohl falsch :=) |
Danke für die Antwort.
Also die Aufgabe lautet folgendermaßen:
Bx = d
B = 2 -6
-1 3
x= x
y
d= -2
1
man soll zuerst die det. bestimmen. das weiss ich wie es geht. es kommt det b = 0 raus
b) Lösen sie das gleichungssystem und vergleichen sie die anzahl der Lösungen mit den det. was stellen ie fest?
x= 2
1
das ist der Eigenvektor (weiss nicht wie er da drauf kommt??
und es hat unenedlich viele lösungen bx = d sind
x = 3 alpha -1
alpha
versteh auch nicht wie man da drauf kommt??
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> Aufgabe vollständig dargetellt. das erste wa reig mein
> versuch den eigenvektor zu bestimmen, war wohl falsch :=)
> Danke für die Antwort.
> Also die Aufgabe lautet folgendermaßen:
>
> Bx = d
>
> B = 2 -6
> -1 3
>
> x= x
> y
>
> d= -2
> 1
>
Hallo,
etwas mehr Sorgfalt beim Schreiben Deiner Posts wäre angebracht.
Weiter solltest Du Dich mal mit der Formeleingabe (Hilfen unterhalb des Eingabefensters oder bei der beta-Version durch Klick auf [mm] \summe) [/mm] vertraut machen.
Auch kann es doch nicht so schwer sein, einfach erstmal den Aufgabentext im Originalwortlaut hinzuschreiben, oder?
Wir haben also
[mm] B:=\pmat{2&-6\\-1&3},
[/mm]
[mm] d:=\vektor{-2\\1}.
[/mm]
>
> man soll zuerst die det. bestimmen. das weiss ich wie es
> geht. es kommt det b = 0 raus
b haben wir überhaupt nicht.
Aber detB=0 ist richtig.
>
> b) Lösen sie das gleichungssystem
[mm] \pmat{2&-6\\-1&3}*\vektor{x\\y}=\vektor{-2\\1}
[/mm]
> und vergleichen sie die
> anzahl der Lösungen mit den det. was stellen ie fest?
>
> x= 2
> 1
> das ist der Eigenvektor (weiss nicht wie er da drauf
> kommt??
Ich sehe in der Aufgabenstellung nicht, daß irgendwie nach Eigenvektoren gefragt ist.
Na, egal...
Hast Du denn mal überprüft, ob es ein Eigenvektor ist?
Wenn ja: zu welchem Eigenwert?
Wenn man Eigenvektoren berechnen möchte, bestimmt man zuerst die Eigenwerte [mm] \lambda. [/mm]
Dazu löst man [mm] det(B-\lambda [/mm] E)=0.
Die zu [mm] \lambda [/mm] gehörenden Eigenvektoren bekommt man anschließend, indem man die x mit [mm] (B-\lambda [/mm] E)*x=0 ermittelt.
dazu muß man natürlich LGSe lösen können.
> und es hat unenedlich viele lösungen bx = d sind
>
> x = 3 alpha -1
> alpha
Kannst Du die Lösung vielleicht mal so hinschreiben, daß man verstehen kann, was gemeint ist?
Jetzt redest Du also wieder über [mm] \pmat{2&-6\\-1&3}*\vektor{x\\y}=\vektor{-2\\1}
[/mm]
>
> versteh auch nicht wie man da drauf kommt??
Löse das LGS mit einer der Methoden, die Du beherrschst.
Man wird von dir sicher erwarten, daß Du den Gaußalgorithmus in Matrixform beherrschst.
Bring dazu zunächst die erweiterte Koeffizientenmatrix [mm] \pmat{2&-6&&|-2\\-1&3&&|1} [/mm] auf ZSF oder sogar auf reduzierte ZSF.
Überrascht es Dich, daß es unendlich viele Lösungen gibt?
Wie ist der Zusammenhang mit der Determinante der Koeffizientenmatrix?
Puh, Du bist eine mathematische Großbaustelle, glaube ich.
Ich mach Dir am besten mal vor, wie es geht:
Eigenwerte und -vektoren von B bestimmen:
[mm] det(B-tE)=det\pmat{2-t&-6\\-1&3-t}=t^2-5t [/mm]
(Das ist das charakteristische Polynom)
Nullstellen von [mm] p(t)=t^2-5t [/mm] bestimmen: [mm] t_1=0, t_2=5.
[/mm]
Das sind die Eigenwerte von B.
Eigenraum zum Eigenwert [mm] t_1=0 [/mm] bestimmen:
berechne dazu kern (B-0E)=kernB.
[mm] B:=\pmat{2&-6\\-1&3}---> \pmat{2&-6\\0&0} [/mm] --> [mm] \pmat{1&-3\\0&0}
[/mm]
Führendes Zeilenelement steht in Spalte 1, also kann die 2. Variable frei gewählt werden.
Mit y:=s bekommt man aus der 1. Zeile
x+3s=0 <==> x=-3s.
Also haben die Eigenvektoren zum Eigenwert [mm] t_1=0 [/mm] die Gestalt [mm] \vektor{x\\y}=\vektor{-3s\\s}=s*\vektor{-3\\1} [/mm] mit [mm] s\not=0.
[/mm]
[mm] \vektor{-3\\1} [/mm] ist eine Basis des Eigenraumes vom B zum Eigenwert [mm] t_1=0.
[/mm]
Eigenraum zum Eigenwert [mm] t_2=5 [/mm] bestimmen:
berechne dazu kern (B-5E).
[mm] B:=\pmat{2-5&-6\\-1&3-5}---> \pmat{-3&-6\\-1&-2} [/mm] --> [mm] \pmat{-3&-6\\0&0} -->\pmat{1&2\\0&0}
[/mm]
Führendes Zeilenelement steht in Spalte 1, also kann die 2. Variable frei gewählt werden.
Mit y:=s bekommt man aus der 1. Zeile
x-2s=0 <==> x=2s.
Also haben die Eigenvektoren zum Eigenwert [mm] t_2=5 [/mm] die Gestalt [mm] \vektor{x\\y}=\vektor{2s\\s}=s*\vektor{2\\1} [/mm] mit [mm] s\not=0.
[/mm]
[mm] \vektor{2\\1} [/mm] ist eine Basis des Eigenraumes vom B zum Eigenwert [mm] t_2=5.
[/mm]
Lösen des Gleichungssystems
[mm] \pmat{2&-6\\-1&3}*\vektor{x\\y}=\vektor{-2\\1}:
[/mm]
[mm] \pmat{2&-6&&|-2\\-1&3&&|1} [/mm] --> [mm] \pmat{2&-6&&|-2\\0&0&&|0} [/mm] --> [mm] \pmat{1&-3&&|-1\\0&0&&|0}
[/mm]
Rang(B|d)=Rang(B), also ist das System lösbar.
Das führende Zeilenelement der Nichtnullzeile steht in Spalte 1, also kann die 2. Variable frei gewählt werden.
Mit y:=3 bekommt man aus der 1. Zeile
x-3s=-1 <==>x=-1+3s.
Also haben alle Lösungen die Gestalt [mm] \vektor{x\\y}=\vektor{-1+3s\\s}=\vektor{-1\\0}+s*\vektor{3\\1}, s\in \IR.
[/mm]
[mm] \vektor{3\\1} [/mm] ist eine Basis des Lösungsraumes des homogenen Systems und [mm] \vektor{-1\\0} [/mm] eine spezielle Lösung des inhomogenen Systems.
Vielleicht versuchst du das, was ich vorgemacht habe, mal an ähnlichen Aufgaben zu imitieren.
LG Angela
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